Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點D在AC上，將△ABD繞頂點B沿順時針方向旋90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度數；
（2）當AB=10，AD：DC=2：3時，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得∠ACB=∠A=45°，再根據旋轉的性質得∠BCE=∠A=45°，于是得到∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；
（2）根據等腰直角三角形的性質得AC=

2

AB=10

2

，再利用AD：DC=2：3得到AD=4

2

，DC=6

2

，則根據旋轉的性質得CE=AD=4

2

，然后根據勾股定理計算BE．

解答：解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠A=45°，
∵△ABD繞頂點B沿順時針方向旋90°后得到△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；

（2）∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB=10

2

，
∵AD：DC=2：3，
∴AD=

2

5

AC=4

2

，DC=

3

5

AC=6

2

，
∵△ABD繞頂點B沿順時針方向旋90°后得到△CBE，
∴CE=AD=4

2

，
在Rt△DCE中，DE=

(4 2 )2+(6 2 )2

=2

26

．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形性質以及勾股定理．