Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2與y軸的交點(diǎn)為A，拋物線的頂點(diǎn)為B（1，﹣3）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)三角形PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）水平移動(dòng)拋物線，新拋物線的頂點(diǎn)為C，兩拋物線的交點(diǎn)為D，當(dāng)O，C，D在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出平移的距離．

Answer 1

【答案】(1) y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2 (2) P（，0） (3) 平移距離為2或3

【解析】

（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣2），根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），可得設(shè)拋物線解析式y=a（x﹣1）2﹣3把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得a值，即可得拋物線的解析式；（2）當(dāng)PA+PB最小時(shí)，△ABP的周長(zhǎng)最小，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'（0，2），連接A'B，用待定系數(shù)法求得直線A'B的解析式，直線A'B與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位，得到新的拋物線的頂點(diǎn)C（1+m，-3），由此可得新拋物線的解析式，把兩個(gè)拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求得直線OC的解析式，因O、C、D三點(diǎn)共線，可得以m為未知數(shù)的方程，解方程求得m的值即可.

（1）根據(jù)題意得：A（0，﹣2），

設(shè)拋物線解析式y=a（x﹣1）2﹣3過(guò)點(diǎn)A（0，﹣2），

∴﹣2=a﹣3，

∴a=1，

∴拋物線解析式y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2；

（2）∵A（0，﹣2），B（1，﹣3），

∴AB=，

∵△ABP的周長(zhǎng)=PA+PB+AB=PA+PB+，

∴當(dāng)PA+PB最小時(shí)，△ABP的周長(zhǎng)最小;

作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'（0，2），連接A'B,

設(shè)直線A'B解析式y=kx+b,

根據(jù)題意得：,

解得：k=﹣5，b=2

∴直線A'B的解析式y=﹣5x+2；

當(dāng)y=0時(shí)，x=，

∴P（，0）；

（3）設(shè)向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得新的拋物線的頂點(diǎn)C（1+m，-3），

∴平移后拋物線解析式y=（x﹣1﹣m）2﹣3，

∴C（1+m，﹣3），

∴根據(jù)題意可得，

∴，

∴D（1+，）；

∵C（1+m，﹣3，），O（0，0），

∴直線CO解析式y=x，

∵O，C，D三點(diǎn)共線，

∴=，

解得：m1=0（不合題意舍去），m2=﹣3，m3=2；

∴向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，或向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，O，C，D三點(diǎn)共線．

∴平移距離為2或3.