Question

【題目】如圖①，已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．

（1）求點A、C的坐標；

（2）將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式（圖②）；

（3）在坐標平面內，是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) （1）A（2，0）；C（0，4）;(2) 直線CD解析式為y=-x+4．（3）P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．

【解析】

試題分析：（1）已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C，即可求得A和C的坐標；

（2）根據題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點坐標，最后即可求出CD的解析式；

（3）將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的坐標．

試題解析：（1）A（2，0）；C（0，4）

（2）由折疊知：CD=AD．設AD=x，則CD=x，BD=4-x，

根據題意得：（4-x）2+22=x2解得：x=

此時，AD=，D(2，)

設直線CD為y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4

解得：k=-

∴該直線CD解析式為y=-x+4．

（3）①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）

②當點P在第一象限時，如圖，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，

則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD于點Q，

在Rt△ADP中，

AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2

由AD×PQ=DP×AP得：PQ=3

∴PQ=

∴xP=2+=，

把x=代入y=-x+4得y=

此時P(，)

（也可通過Rt△APQ勾股定理求AQ長得到點P的縱坐標）

③當點P在第二象限時，如圖

同理可求得：CQ=

∴OQ=4-=

此時P(-，)

綜合得，滿足條件的點P有三個，

分別為：P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．