Question

【題目】某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．

（1）該學習小組中一名成員意外地發現：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2=BN2+CD2．請你對這名成員在圖①和圖③中發現的結論選擇其一說明理由．

（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）連接DN，根據矩形得出OB=OD，根據線段垂直平分線得出BN=DN，根據勾股定理求出DN的平方，即可求出答案；

（2）延長NO交AD于點P，連接PM，MN，證△BNO≌△DPO，推出OP=ON，DP=BN，根據線段垂直平分線求出PM=MN，根據勾股定理求出即可．

（1）選①．證明如下：連接DN，

∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，

∵∠DON=90°，∴BN=DN，

∵∠BCD=90°，∴DN2=CD2+CN2，∴BN2=CD2+CN2；

（2）延長NO交AD于點P，連接PM，MN，

∵四邊形ABCD是矩形，∴OD=OB，AD∥BC，∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，

在△BON和△DOP中，∵，∴△BON≌△DOP（AAS），∴ON=OP，BN=PD，

∵∠MON=90°，∴PM=MN，

∵∠ADC=∠BCD=90°，∴PM2=PD2+DM2，MN2=CM2+CN2，∴PD2+DM2=CM2+CN2，∴BN2+DM2=CM2+CN2．