Question

【題目】如圖1所示，點P是線段AB的中點，且AB=12，現分別以AP，BP為邊，在AB的同側作等邊△MAP和△NBP，連結MN。

(1)請只用不含刻度的直尺在圖1中找到△MNP外接圓的圓心O，并保留作圖痕跡；

(2)若將“點P是線段AB的中點”改成“點P是線段AB上異于端點的任意一點”，其余條件不變(如圖2)，請用文字寫出△MNP外接圓圓心O的位置，并求出該圓半徑的最小值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；r=2.

【解析】

(1)連接,它們的交點即為外接圓的圓心O.

(2) 分別作∠A與∠B角平分線，交點為O．由三線合一可知AP與BP為CD、CE垂直平分線；再由垂徑定理可知圓心O在CD、CE垂直平分線上，即圓心O是一個定點，連OC，若半徑OC最短，則OC⊥AB，由△AOB為底邊6，底角30°的等腰三角形，由此即可解決問題．

(1)如圖所示：點O即為所求，

(2) 分別作∠A與∠B角平分線，交點為O，連接OP，

∵△APM和△BPN都是等邊三角形，

∴AO與BO分別為PM、PN的垂直平分線.

∵圓心O在PM、PN垂直平分線上，即圓心O是一個定點，

若半徑OP最短，則OP⊥AB.

又∵

∴OA=OB，

∴

∴在直角△AOP中,

當OP⊥AB時，半徑最短此時，r=2