Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD相交于點O，且對角線AC平分∠BCD，∠ACD＝30°，BD＝6．

（1）求證：△BCD是等邊三角形；（2）求AC的長（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC的長為6．

【解析】

（1）先證四邊形ABCD是菱形，得BC=CD，即已知兩邊相等，再尋找一個角為60°，即可證明△BCD是等邊三角形；

（2）先由三角函數求OC的長，即可得出AC的長．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA．

∵AC平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD．

∵∠ACD=30°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等邊三角形．

（2）∵O為菱形對角線的交點，∴AC=2OC，ODBD=3，∠COD=90°．

在Rt△COD中，tan∠OCD=tan30°，∴OC，∴AC=2OC=6．

答：AC的長為6．