Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射線AP位于該菱形外側，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，直線DE與直線AP交于F，連接BF，設∠PAB=α．
（1）依題意補全圖1；
（2）如圖1，如果0°＜α＜30°，判斷∠ABF與∠ADF的數量關系，并證明；

（3）如圖2，如果30°＜α＜60°，寫出判斷線段DE，BF，DF之間數量關系的思路；（可以不寫出證明過程）

（4）如果60°＜α＜90°，直接寫出線段DE，BF，DF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示：

（2）解：∠ABF=∠ADF．

理由：如圖2所示：連接AE．

∵點B與點E關于直線PA對稱，

∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AD．

∴AE=AD．

∴∠AEF=∠ADF．

∴∠ABF=∠ADF．

（3）解：DF=ED﹣BF．

理由：如圖3所示：

∵點B與點E關于PA對稱，

∴EF=BF．

又∵DF=ED﹣EF，

∴DF=ED﹣BF．

（4）解：BF=DE+DF．

理由：如圖4所示：

∵點B與點E關于PA對稱，

∴EF=BF．

又∵EF=ED+DF，

∴BF=DE+DF

【解析】（1）根據題意畫出圖形；
（2）連接AE，根據對稱的性質可得EA=AB、∠ABF=∠AEF，再由四邊形ABCD為菱形，可得∠AEF=∠ADF，進而得出結論；
（3）根據對稱的性質易得DF=ED﹣BF；
（4）畫出圖形，根據對稱的性質易得BF=DE+DF.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質和軸對稱的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．