Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH、BE與相交于點G，以下結論中正確的結論有（　　）

（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：：；（4）GE2+CE2＝BG2．

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）根據角平分線的定義可得∠ABE＝∠CBE，根據等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根據等角對等邊可得AB＝BC，從而得證；

（2）根據三角形的內角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根據AAS證出△BDF≌△CDA即可；

（3）根據等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行解答；

（4）由（2）得出BF＝AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通過ASA證得△ABE≌△CBE，即得CE＝AE＝AC，連接CG，由H是BC邊的中點和等腰直角三角形△DBC得出BG＝CG，再由直角△CEG得出CG2＝CE2+GE2，從而得出CE，GE，BG的關系．

解：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵CD⊥AB，

∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠BCA，

∴AB＝BC，

∴△ABC是等腰三角形；

故（1）正確；

（2）∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，

∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，

∴∠A＝∠DFB，

∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，

∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，

∴BD＝DC，

在△BDF和△CDA中

，

∴△BDF≌△CDA（AAS），

∴BF＝AC；

故（2）正確；

（3）∵在△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝45°，

∴∠DCB＝45°，

∴BD＝CD，BC＝BD．

由點H是BC的中點，

∴DH＝BH＝CH＝BC，

∴BD＝BH，

∴BH：BD：BC＝BH： BH：2BH＝1：：2．

故（3）錯誤；

（4）由（2）知：BF＝AC，

∵BF平分∠DBC，

∴∠ABE＝∠CBE，

又∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠CEB，

在△ABE與△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（AAS），

∴CE＝AE＝AC，

∴CE＝AC＝BF；

連接CG．

∵BD＝CD，H是BC邊的中點，

∴DH是BC的中垂線，

∴BG＝CG，

在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2，

∴CE2+GE2＝BG2．

故（4）正確．

綜上所述，正確的結論由3個．

故選：C．