Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線 經過點A（0，2）和B（1， ）．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）已知點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱，點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4，求點C與點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線在點A，D之間的部分（含點A，D）記為圖象G，如果圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（0，2）和B（1， ）代入 得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y= x2﹣x+2

（2）解：∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ ，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱，

∴C點坐標為（2，2）；

當x=4時，y= x2﹣x+2=8﹣4+2=6，

∴D點坐標為（4，6）

（3）解：如圖，

設直線BC的解析式為y=mx+n，

把B（1， ），C（2，2）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x+1，

當x=0時，y= x+1=1，

∴點圖象G向下平移1個單位時，點A在直線BC上，

當x=4時，y= x+1=3，

∴點圖象G向下平移3個單位時，點D在直線BC上，

∴當1＜t≤3時，圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點．

【解析】（1）利用待定系數法可求出二次函數的解析式；
（2）把二次函數的解析式化成頂點式，再利用拋物線的對稱性可求出點C的坐標；把x=4代入二次函數的解析式可求出縱坐標；
（3）利用待定系數法可求出直線BC的解析式，由x=0、x=4分別求出y的值，從而可知點A、D在直線BC上，進而可得t的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．