Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°．將一直角三角形的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為　 （直接寫出結果）；

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，OD為∠BOM平分線．請探究：∠MOD與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12秒或48秒；（3）2∠MOD+∠NOC=150°，理由見解析.

【解析】

（1）如圖2中，設ON的反向延長線為OD，根據余角的性質和對頂角的性質可證明∠COD=∠AOD；

（2）分兩種情形分別構建方程即可解決問題；

（3）結論：∠AOM=∠NOC+30°．根據角的和差定義判斷即可．

（1）解：直線ON平分∠AOC，設ON的反向延長線為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC＝∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD＝∠MON＝90°，

∴∠COD＝∠BON，

又∵∠AOD＝∠BON，

∴∠COD＝∠AOD，

即直線ON平分∠AOC．

（2）解：由題意5t＝60°或5t＝240°，

解得t＝12或48，

故答案為12秒或48秒．

（3）解：結論：∠AOM＝∠NOC+30°．

理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，

即∠AOM＝∠NOC+30°．

∵OD為∠BOM平分線,

∴∠BOM=2∠MOD,

∵∠AOM+∠BOM=180°,

∴∠AOM=180°-2∠MOD,

∴180°-2∠MOD=∠NOC+30°,

∴2∠MOD+∠NOC=150°.