Question

【題目】如圖，在中，，為的中點，以為直徑的分別交，于點，兩點，過點作于點．

（1）試判斷與的位置關系，并說明理由．

（2）若，，則的長為__________．

Answer 1

【答案】（1）相切，證明見解析；（2）．

【解析】

（1）如圖，連接OF，根據直角三角形的性質得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根據等腰三角形的性質得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90，于是得到結論；

（2）連接DF，根據勾股定理得到BC＝＝4，根據圓周角定理得到∠DFC＝90，根據三角函數的定義即可得到結論．

（1）FG與⊙O相切，

理由：如圖，連接OF，

∵∠ACB＝90，D為AB的中點，

∴CD＝BD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵OF＝OC，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴∠OFC＝∠DBC，

∴OF∥DB，

∴∠OFG＋∠DGF＝180，

∵FG⊥AB，

∴∠DGF＝90，

∴∠OFG＝90，

∴FG與⊙O相切；

（2）連接DF，

∵CD＝2.5，

∴AB＝2CD＝5，

∴BC＝＝4，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠DFC＝90，

∴FD⊥BC，

∵DB＝DC，

∴BF＝BC＝2，

∵sin∠ABC＝，

即，

∴FG＝．