Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，O是BC邊上的點且⊙O與AB、AC都相切，切點分別為D、E．

（1）求⊙O的半徑；

（2）如果F為上的一個動點（不與D、E），過點F作⊙O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H，連接OG、OH，有兩個結論：①四邊形BCHG的周長不變，②∠GOH的度數不變．已知這兩個結論只有一個正確，找出正確的結論并證明；

（3）探究：在（2）的條件下，設BG＝x，CH＝y，試問y與x之間滿足怎樣的函數關系，寫出你的探究過程并確定自變量x的取值范圍，并說明當x＝y時F點的位置．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）②的結論正確，證明詳見解析；（3）y＝， 2≤x≤4，F為AO與圓的交點同時F是的中點．

【解析】

（1）連接OD、OE、OA；構造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性質解答；

（2）連接OF、OG、OH；根據切線長定理和圓的半徑相等，構造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠EOH；進而得到∠GOH＝＝45°；

（3）當x＝y時，有AG＝AH，根據平行線分線段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根據切線性質，判斷F為AO與圓的交點同時F是的中點．

（1）連接OD、OE、OA，

∵O是BC邊上的點且⊙O與AB、AC都相切，

∴OD⊥AB，AC⊥OE，

又∵∠BAC＝90°，且OD＝OE，

∴四邊形ADOE為正方形，

∴OE＝AE，`

∴∠OAE＝45°；

又∵∠C＝45°，

∴OE＝2，△OAC為等腰直角三角形，

AE＝EC＝AC＝×4＝2，即⊙O的半徑是2；

（2）②的結論正確；理由如下：

連接OF、OG、OH，

由題意，GD、GF以及HF、HE與圓相切，

所以GD＝GF，HE＝HF，∠DOG＝∠FOG，∠FOH＝∠HOE，

而∠DOE＝90°，所以可以得到∠GOH＝＝45°．

（3）BG＝x，CH＝y，

易得：GF＝GD＝x﹣2，FH＝HE＝y﹣2，AG＝4﹣x，AE＝4﹣y，

所以GH＝x+x﹣4，

由∠A＝90°，可得GH2＝AG2+AH2，代入上述各數值，

化簡可得y＝，由AG≥0，AE≥0，可得x≤4，y≤4，所以2≤x≤4，

當x＝y時，有AG＝AH，由于AB＝AC所以可得GH與BC平行，連接AO，

設AO交GH于F'，有∠OFH＝90°，

所以F'為切點F，即F為AO與圓的交點同時F是的中點．