Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，過對角線AC中點O的直線分別交BC、AD邊于點E、F．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當四邊形AECF是菱形時，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）5

【解析】

（1）根據矩形的性質，判定△AOF≌△COE（ASA），得出四邊形AECF的對角線互相平分，進而得出結論；

（2）由菱形的性質，得到AF=CF，設AF=CF=x，則FD=8-x，然后利用勾股定理，即可得到答案.

解：（1）在矩形ABCD中，有OA=OC，AD∥BC，

∴∠FAO=∠ECO，

∵∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OF=OE，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）在矩形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=8，∠D=90°，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AF=CF，

設AF=CF=x，則FD=8-x，

在Rt△CDF中，由勾股定理，得：

，

∴，

解得：，

∴.