Question

【題目】【探索新知】

如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“妙分線”．

【解決問題】

（1）如圖2，若∠MPN= ，且射線PQ是∠MPN的“妙分線”，則∠NPQ= ____ ．（用含的代數式表示出所有可能的結果）

【深入研究】

如圖2，若∠MPN=54°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度順時針旋轉，當PQ與PN成時停止旋轉，旋轉的時間為t秒．

（2）當t為何值時，射線PM是∠QPN的“妙分線”．

（3）若射線PM同時繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉，并與PQ同時停止．請求出當射線PQ 是∠MPN的“妙分線”時t的值．

Answer 1

【答案】（）， ， ；（）， ， ；（）， ， .

【解析】試題分析：（1）分3種情況，根據妙分線定義即可求解；

（2）分3種情況，根據妙分線定義即可求解；

（3）分3種情況，根據妙分線定義即可求解．

試題解析：解：（1）∵∠MPN=α，∴∠MPQ=α或α或α；

故答案為： α或α或α；

（2）依題意有

①8t=54+×54，解得t=；

②8t=2×54，解得t=；

③8t=54+2×54，解得t= ．

故當t為s或s或s時，射線PM是∠QPN的“妙分線”；

（3）依題意有

①8t=（6t+54），解得t=3；

②8t=（6t+54），解得t=5.4；

③8t=（6t+54），解得t=9．

故當t為3s或5.4s或9s時，射線PQ是∠MPN的“妙分線”．