Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為的中點.

（1）求證：∠ACD=∠DEC；（2）延長DE、CB交于點P，若PB=BO，DE=2，求PE的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PE=4.

【解析】

（1）根據同角的余角相等得到∠ACD=∠B，然后由圓周角定理可得結論；

（2）連結OE，根據圓周角定理和等腰三角形的性質證明OE∥CD，然后由△POE∽△PCD列出比例式，求解即可.

解：(1）證明：∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠B=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵∠DEC=∠B,

∴∠ACD=∠DEC

（2）證明：連結OE

∵E為BD弧的中點.

∴∠DCE=∠BCE

∵OC=OE

∴∠BCE=∠OEC

∴∠DCE=∠OEC

∴OE∥CD

∴△POE∽△PCD，

∴

∵PB=BO，DE=2

∴PB=BO=OC

∴

∴

∴PE=4