Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D．下列四個(gè)結(jié)論：①∠BOC＝90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位線；③設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn；④以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得①∠BOC＝90°+∠A正確；假設(shè)EF是△ABC的中位線，由三角形中兩邊之和大于第三邊可得假設(shè)不成立，故②正確；過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得當(dāng)OD＝m，AE+AF＝n時(shí)，則S△AEF＝mn，故③正確；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO與△CFO是等腰三角形，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系，即可求得④正確．

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故①正確；

假設(shè)EF是△ABC的中位線，則EA＝EB，FA＝FC，

∴EO＝EA，FO＝FA，

∴EA+FA＝EO+FO＝EF，

推出在△AEF中兩邊之和等于第三邊，不成立，

∴EF不可能是△ABC的中位線，故②結(jié)論正確；

過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴ON＝OD＝OM＝m，

∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AEOM+AFOD＝OD（AE+AF）＝mn，故③正確；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，

∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，

∴EB＝EO，FO＝FC，

∴EF＝EO+FO＝BE+CF，

∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故④正確．

∴其中正確的結(jié)論是①②③④．

故選：D．