Question

【題目】小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發現，對于平面直角坐標系內任意兩點P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），可通過構造直角三角形利用圖1得到結論：P1P2= 他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標公式：x= ，y= ．

（1）請你幫小明寫出中點坐標公式的證明過程；
（2）①已知點M（2，﹣1），N（﹣3，5），則線段MN長度為；
②直接寫出以點A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標：；
（3）如圖3，點P（2，n）在函數y= x（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請在OL、x軸上分別找出點E、F，使△PEF的周長最小，簡要敘述作圖方法，并求出周長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），

∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，

∴Q1Q= ，

∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，

∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線，

∴PQ= = ，

即線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標公式為x= ，y=

（2） ；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）
（3）

解：如圖，設P關于直線OL的對稱點為M，關于x軸的對稱點為N，連接PM交直線OL于點R，連接PN交x軸于點S，連接MN交直線OL于點E，交x軸于點F，

又對稱性可知EP=EM，FP=FN，

∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，

∴此時△PEF的周長即為MN的長，為最小，

設R（x， x），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n，

∴ =2，解得x=﹣ （舍去）或x= ，

∴R（ ， ），

∴ =n，解得n=1，

∴P（2，1），

∴N（2，﹣1），

設M（x，y），則 = ， = ，解得x= ，y= ，

∴M（ ， ），

∴MN= = ，

即△PEF的周長的最小值為

【解析】（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），
∴MN= = ，
所以答案是： ；
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），
∴當AB為平行四邊形的對角線時，其對稱中心坐標為（0，1），
設D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，
∴此時D點坐標為（﹣3，3），
當AC為對角線時，同理可求得D點坐標為（7，1），
當BC為對角線時，同理可求得D點坐標為（﹣1，﹣3），
綜上可知D點坐標為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），
所以答案是：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和軸對稱-最短路線問題的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．