Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D、E分別在AC、BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E為圓心，DE長為半徑作圓，⊙E經過點B，與AB、BC分別交于點F、G．

（1）求證：AC是⊙E的切線；

（2）若AF＝4，CG＝5，求⊙E的半徑；

（3）若Rt△ABC的內切圓圓心為I，求⊙I的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙E的半徑為20；（3）130π.

【解析】（1）證明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切線；

（2）如圖1，作輔助線，構建矩形AHED，設⊙E的半徑為r，表示BH和EC的長，證明△BHE∽△EDC，列比例式代入r可得結論；

（3）如圖2，作輔助線，構建直角△IME，分別求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的長．

（1）∵ CD·BC＝AC·CE，

∴＝

∵∠DCE＝∠ACB．

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC＝∠A＝90° ，

∴ED⊥AC

又∵點D在⊙O上，

∴AC與⊙E相切于點D ．

（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，

∴BH＝FH．

在四邊形AHED中，∠AHE＝∠A＝∠ADE＝90°，

∴四邊形AHED為矩形，

∴ED＝HA，ED∥AB，

∴∠B＝∠DEC．

設⊙O的半徑為r，則EB＝ED＝EG＝r，

∴BH＝FH＝r－4，EC＝r＋5．

在△BHE和△EDC中，

∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC，

∴△BHE∽△EDC．

∴＝，即＝．

∴r＝20．即⊙E的半徑為20.

（3）如圖2，過I作IM⊥BC于M，過I作IH⊥AB于H，

由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，

BC=2r+5=2×20+5=45，

∴AC= =27，

∵I是Rt△ABC的內心，

∴IM=(AB+ACBC) ÷2=(36+2745) ÷2=9，

∴AH=IM=9，

∴BH=BM=36-9=27，

∴EM=27-20=7，

在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= ， .

∴⊙I的面積=π×=130π.