Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根據三角形中位線定理分別求出OM、ON，根據勾股定理求出OE，根據相似三角形的性質求出FN，得到FC的長，證明△GFC∽△GOE，根據相似三角形的性質列出比例式，代入計算得到答案．

解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=90°，∠ABC=90°，

∴OM∥AD，ON∥AB，

∵點O為AC的中點，

∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，

∵CE=1.5，

∴ME=CM+CE=6，

在Rt△OME中，OE==3，

∵∠MON=90°，∠EOF=90°，

∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，

∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，

∴△OME∽△ONF，

∴，即，

解得，FN=9，

∴FC=FN+NC=12，

∵∠FOE=∠FCE=90°，

∴F、O、C、E四點共圓，

∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，

∴△GFC∽△GOE，

∴，

故答案為：．