Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），與y軸交于點D(0，3)，過頂點C作CH⊥x軸于點H.

（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標；

（2）連結AD、CD，若點E為拋物線上一動點（點E與頂點C不重合），當△ADE與△ACD面積相等時，求點E的坐標；

（3）若點P為拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），過點P向CD所在的直線作垂線，垂足為點Q，以P、C、Q為頂點的三角形與△ACH相似時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1），（-1,4） （2）(-2，3)，，

（3）(-4，-5)，(，)

【解析】

（1）將A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直線AD的解析式，分別過點C、H作AD的平行線，與拋物線交于點E，利用△ADE與△ACD面積相等，得出直線EC和直線EH的解析式，聯立出方程組求解即可;(3) （3）分兩種情況討論：①點P在對稱軸左側；②點P在對稱軸右側.

（1）設拋物線的解析式為，

∵拋物線過點A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，

∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，

∴拋物線解析式為，頂點C（-1,4）；

（2）如圖1，∵A(-3，0)，D(0，3),

∴直線AD的解析式為y=x+3，

設直線AD與CH交點為F，則點F的坐標為(-1，2)

∴CF=FH，

分別過點C、H作AD的平行線，與拋物線交于點E，

由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知，△ADE與△ACD面積相等，

∴直線EC的解析式為y=x+5，

直線EH的解析式為y=x+1，

分別與拋物線解析式聯立，得，，

解得點E坐標為(-2，3)，，；

（3）①若點P在對稱軸左側（如圖2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，

∴，

分別過點C、P作x軸的平行線，過點Q作y軸的平行線，交點為M和N，

由△CQM∽△QPN，

得=2，

∵∠MCQ=45°，

設CM=m，則MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，

∴P點坐標為(-m-1，4-3m)，

將點P坐標代入拋物線解析式，得，

解得m=3，或m=0(與點C重合，舍去)

∴P點坐標為(-4，-5)；

②若點P在對稱軸右側（如圖①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

∴，

延長CD交x軸于M，∴M(3，0)

過點M作CM垂線，交CP延長線于點F，作FNx軸于點N，

∴，

∵∠MCH=45°，CH=MH=4

∴MN=FN=2，

∴F點坐標為(5，2)，

∴直線CF的解析式為y=，

聯立拋物線解析式，得，解得點P坐標為(，)，

綜上所得，符合條件的P點坐標為(-4，-5)，(，).