Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，BC是弦，直線CD是⊙O的切線，切點為C，BD⊥CD．

（1）如圖1，求證：BC平分∠ABD；

（2）如圖2，延長DB交⊙O于點E，求證：弧AC =弧EC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EA并延長至F，使EF=AB，連接CF、CE，若tan∠FCE=，BC=5，求AF的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）詳見解析；（3）AF=EF﹣AE=．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，欲證明BC平分∠ABD，只要證明∠CBD=∠CBO，只要證明BD∥OC即可．（2）如圖2中，連接AE，連接CO并延長交AE于M欲證明弧AC =弧EC，只要證明CM⊥AE即可．（3）如圖3中，連接AC，連接CO并延長交AE于M，過F作FH⊥CE于H，首先證明△FHE≌△ACB，根據tan∠FCE=，設FH=12k，CH=7k，列出方程求出k，通過解直角三角形分別求出EF、AE即可解決問題．

試題解析：（1）證明：如圖1中，連接OC，

∵AB是⊙O直徑，DC是⊙O切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，

∴∠OCD+∠D=180°，

∴OC∥BD，

∴∠OCB=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠CBD，

∴BC平分∠OBD．

（2）證明：如圖2中，連接AE，連接CO并延長交AE于M．

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵CM∥DB，

∴∠AMC=∠AEB=90°，

∴CM⊥AB，

∴∠AMC=∠AEB=90°，

∴CM⊥AB，且CM經過圓心O，

∴弧AC =弧EC．

（3）解：如圖3中，連接AC，連接CO并延長交AE于M，過F作FH⊥CE于H，

∵FH⊥CE，

∴∠FHE=∠FHC=90°，

由（2）可知∠AMC=90°，

∴∠CME=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠FHE=∠ACB=90°，

∵FH=AB，∠FEH=∠ABC，

∴△FHE≌△ACB，

∴FH=AC，EH=BC，

在RT△FHC中，tan∠FCE=，設FH=12k，CH=7k，

∴FH=AC=12k，

∵弧AC =弧EC，

∴CE=AC=12k，

∴EH=BC=5k，

∵BC=5，

∴5k=5，

∴k=1，∴AC=12，

在RT△ACB中，AB==13，∴AB=EF=13，

在RT△ACB中，sin∠ABC=，∵∠ABC=∠CBD，

在RT△CBD中，sin∠CBD=，∴CD=，

∵∠AED=∠D=∠ACB=90°，

∴四邊形CMED是矩形，

∴CD=ME=，

∴AM=ME，

∴AE=2ME=，

∴AF=EF﹣AE=．