Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分別以OC、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，點D（3，10）、E（0，6），拋物線y=ax2+bx+c經過O，D，C三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？
（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使四邊形MENC是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCO為矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

∴C（8，0），

∵拋物線y=ax2+bx+c過點D（3，10），C（8，0），O（0，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x

（2）

解：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，

∴PC=10﹣2t．

當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，解得t= ．

當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，解得t= ．

∴當t的 或 時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似

（3）

解：存在符合條件的M、N點，

EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過EC中點，

若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點；

則M（4， ）；

而平行四邊形的對角線互相平分，那么線段MN必被EC中點（4，3）平分，

則N（4，﹣ ）；

∴存在符合條件的M、N點，且它們的坐標為M（4， ），N（4，﹣ ）

【解析】（1）由矩形的性質可求得C點坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）用t可分別表示出CQ、PC的長，當∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；當∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性質可分別得到關于t的方程，可求得t的值；（3）由題意可知CE為平行四邊形的對角線，根據拋物線的對稱性可知當M為拋物線頂點時滿足條件，再由平行四邊形的性質可知線段MN被線段EC平分，可求得N點坐標．