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已知函數f（x）=（1+x）ⁿ（x＞-1，n∈N^*）在點（0，1）處的切線L為y=g（x）
（Ⅰ）求切線L并判斷函數f（x）在x∈（-1，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）對任意的x∈（-1，+∞）都成立；
（Ⅲ）求證：已知m，n∈N^*，S_m=1^m+2^m+…+n^m，求證：n^m+1＜（m+1）S_m．

（Ⅰ）閱讀理解：
①對于任意正實數a，b，∵(

a

-

b

)2≥0， ∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

只有當a=b時，等號成立．
②結論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，
只有當a=b時，a+b有最小值2

p

．
（Ⅱ）結論運用：根據上述內容，回答下列問題：（提示：在答題卡上作答）
①若m＞0，只有當m=時，m+

1

m

有最小值．
②若m＞1，只有當m=時，2m+

8

m-1

有最小值．
（Ⅲ）探索應用：
學校要建一個面積為392m²的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路（如圖）．問游泳池的長和寬分別為多少米時，共占地面積最�。坎⑶蟪稣嫉孛娣e的最小值．

使不等式10

31-m

2

＜2m成立的最小自然數m=．

已知命題p：m∈R，且m+1≤0，命題q：?x∈R，x²+mx+1＞0恒成立，若p∧q為假命題且p∨q為真命題，則m的取值范圍是．