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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（3）求二面角O-AC-D的大�。�

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值．

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，
AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大小；
（III）求O點到平面ACD的距離．

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一、選擇題：每小題5分，共60分．

       BABDB   DCABD  BD

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷相應題號的橫線上．

13．某校有教師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有老師中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數為80人，則n的值為：16

14．若△ABC三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，則角C的大小為：

15．若、滿足約束條件的最大值為：2

16．若，且，則實數x的取值范圍是：

三、解答題：本大題共6小題，共70分．把答案填在答題卷相應題號的答題區中．

17．（本小題滿分10分）

如圖，已知，，且，．

（I）試用表示；

（Ⅱ）設向量和的夾角為，求的值．

解：（I）設，則

      ，；            …………3分

因，，，

       所以         解得：                                                  

       即 ．                                                                                  …………5分

（Ⅱ）由（I）知 ，又，

所以 ) ()=，                                     

                            …………8分

故 ．                                                      …………10分

18．（本小題滿分10分）

甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分配到四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙兩人同時被分配到崗位服務的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人被分配到不同崗位服務的概率．

解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時被分到崗位服務為事件，

那么，

即甲、乙兩人同時被分到崗位服務的概率是．                                       …………5分

（Ⅱ）設甲、乙兩人同時被分到同一崗位服務為事件，

那么，

故甲、乙兩人被分到不同崗位服務的概率是．         …………10分

19．（本小題滿分12分）

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2．

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大�。�

解:(方法一)

（Ⅰ）連結OC．∵BO=DO，AB=AD， BC=CD，

∴AO⊥BD，CO⊥BD．                                        …………3分

在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=，

∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

 ∴AO平面BCD．            …………6分

（Ⅱ）分別取AC、BC的中點M、E，連結OM、ME、OE，則

                  ME∥AB，OE∥DC．     

∴（或其補角）等于異面直線AB與CD所成的角．                    …………9分

在△OME中，                                   

又 是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為                                                 …………12分

(方法二)

（Ⅰ）同方法一．                                                …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．

以O為原點，建立空間直角坐標系如圖，   …………7分

則A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ．        …………10分

所以 ，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為                                         …………12分

20．（本小題滿分12分）

數列滿足，且．

   （I）求，并證明數列是等比數列；

   （II）求．

解：（I），

           ；                       …………2分

  又，，                    …………4分

    且  

    所以數列是以-2為首項，3為公比的等比數列．                   …………6分

   （II）由（I）得，    ．                  …………8分

                               …………10分

                                    …………12分

21.（本小題滿分13分）

已知函數，在任意一點處的切線的斜率為.

（I）求函數的單調區間；

（II）若在上的最小值為，求在R上的極大值.

21. 解：（I）因,所以；  …………2分

故  , ，，，

 ,   .                  …………4分

由知在和上是增函數，

由知在（-1，2）上為減函數.               …………8分

（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函數，在（-1，2）上為減函數，

所以 在上的最小值是或，極大值為.       …………10分

而，,，

∴在上的最小值是,∴,.   …………12分

，

即所求函數在R上的極大值為                                 …………13分

22．（本小題滿分13分）

如圖，傾斜角為的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．

（I）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；

（II）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明為定值，并求此定值．

解：（I）設拋物線的標準方程為，則，從而．

因此拋物線焦點F的坐標為（2，0），準線方程為．                      ……………4分

（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C、D，

則由拋物線的定義知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．

記A、B的橫坐標分別為x_A、x_B，則

|FA|＝|AC|＝

解得；                                          ……………7分

|FB|＝|BD|＝

解得．                                                                           ……………9分

記直線m與AB的交點為E，則

，

所以．                                                                  ……………12分

故．                 ……………13分