Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（I）連接OC，由已知中O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

，根據等腰三角形“三線合一”及勾股定理，可分別證得AO⊥BD，AO⊥AC，結合線面垂直的判定定理即可得到AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）法一：過O作OE⊥BC于E，連接AE，則∠AEO為二面角A-BC-D的平角，解三角形AEO即可得到二面角A-BC-D的余弦值；
法二：以O為原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABC與平面BCD的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）法一：設點O到平面ACD的距離為h，根據V_O-ACD=V_A-OCD，分別求出三棱錐的體積和底面ACD的面積，即可得到O點到平面ACD的距離；
法二：求出平面ACD的法向量

m

，代入公式

h

OA

=cosθ，即可得到O點到平面ACD的距離．

解答：解法一：（I）證明：連接OC，△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，AB=2，AC=

6

，∴AO=CO-

3

．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥AC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．
（Ⅱ）
過O作OE⊥BC于E，連接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE
∴AE⊥BC∴∠AEO為二面角A-BC-D的平角．
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，tan∠AEO=

AO

OE

=2，cos∠AEO=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值為

5

5

（Ⅲ）解：設點O到平面ACD的距離為h，
∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴

1

3

S△ACD•h=

1

3

S△OCD•AO
在△ACD中，AD=CD=2，AC=

6

，S△ACD=

1

2

6

•

22-( 6 2 )2

=

15

2

而AO=

3

，S△OCD=

3

2

，∴h=

S△OCD

S△ACD

•AO=

15

5

∴點O到平面ACD的距離為

15

5

．
解法二：（I）同解法一．
（Ⅱ）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則

O(0，0，0)，A(0，0 3 ) B(0，1，0)，C( 3 ，0，0)，D(0，-1，0)

∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量

AO

=(0，0，

3

)
設平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，

AB

=(0，1，-

3

)，

BC

=(

3

，-1，0)
由

n • AB =0 n • BC =0

?

y- 3 z=0 3 x-y=0

?

n

=(1，

3

，1)
設

n

與

AO

夾角為θ，則|cosθ|=|

n • AO

| n |•| AO |

|=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值為

5

5

．
（Ⅲ）解：設平面ACD的法向量為

m

=(x，y，z)，又

DA

=(0，1，

3

)，

DC

=(

3

，1，0)

m • DA =0 m • DC

?

y+ 3 z=0 3 x+y=0

?

m

=(1，-

3

，1)
設

OA

與

m

夾角為θ，則cosθ=|

m • OA

| a |•| OA |

|=

5

5

設O到平面ACD的距離為h，∵

h

OA

=

5

5

?h=

15

5

，∴O到平面ACD的距離為

15

5

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，點到平面的距離，其中解法一（幾何法）中要熟練掌握空間線線垂直，線面垂直之間的相互轉化，及棱錐體積的轉化；解法二（向量法）的關鍵是建立適當的坐標系，將二面角問題及點到平面的距離問題轉化為向量問題．