Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證AO⊥平面BCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直，連接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，滿足定理條件；
（2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，根據二面角平面角的定義知∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可．

解答：解：（1）證明：連接OC，∵△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，
∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD為等邊三角形，
O為BD的中點，AB=2，AC=

6

，
∴AO=CO=

3

．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90^o，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE．
∴AE⊥BC．∴∠AEO為二面角A-BC-D的平面角．
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，
tan∠AEO=

AO

OE

=2，
∴．cos∠AEO=

5

5

∴二面角A-BC-D的余弦值為

5

5

．

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．