Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，
AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大小；
（III）求O點到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（I）要證AO⊥平面BCD，可證AO⊥BD，易證．再證AO⊥OC，利用勾股定理．
（Ⅱ）過O作OE⊥BC于E，連接AE，證得∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，解三角形AOE可得大小．
（Ⅲ）利用等體積法V_O-ACD=V_A-OCD求O點到平面ACD的距離．

解答：證明：（I）連接OC，∵△ABD為等邊三角形，O為BD的中點，
∴AO⊥BD．
∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，AB=2，AC=

6

，
∴AO=CO=

3

在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）過O作OE⊥BC于E，連接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE．
∴AE⊥BC．
∴∠AEO為二面角A-BC-D的平面角
在Rt△AEO中，AO=

3

，OE=

3

2

，tan∠AEO=

AO

OE

=2
∴∠AEO=arctan2．
∴二面角A-BC-D的大小為arctan2
（III）解：設點O到平面ACD的距離為h．∵V_O-ACD=V_A-OCD，
∴

1

3

S△ACD•h=

1

3

S△OCD•AO．
在△ACD中，AD=CD=2，AC=

6

，S△ACD=

1

2

6

•

22-( 6 2 )2

=

15

2

．
而AO=

3

，S△OCD=

3

2

，
∴h=

S△OCD

S△ACD

•AO=

15

5

．
∴點O到平面ACD的距離為

15

5

點評：本題主要考查空間角的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法