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6．已知正數(shù)x.y滿足等式x+y-2xy+4＝0.則A．xy的最大值是2.且x+y的最小值為4 B．xy的最小值是4.且x+y的最大值為4C．xy的最大值是2.且x+y的最大值為4 D．xy的最小值是4.且x+y的最小值為4 【查看更多】

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，)在直線y＝x＋上；數(shù)列{b_n}滿足b_n+2－2b_n+1－b_n＝0(n∈N^*)，且b₃＝11，它的前9項和為153．

(1)求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；

(2)設(shè)c_n＝，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值；

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若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠離m．

(1)若x²－1比1遠離0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a³＋b³比a²b＋ab²遠離2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明)．

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若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x²－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a²b＋ab²比a³＋b³接近2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明)．

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已知函數(shù)f(t)對任意實數(shù)x、y都有：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y＋2)＋3，且f(1)＝1．

(1)求f(0)、f(－1)、f(2)的值；

(2)若t為正整數(shù)，求f(t)的表達式．

(3)滿足條件f(t)＝t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列？若能構(gòu)成等差數(shù)列，求出此數(shù)列；若不能構(gòu)成等差數(shù)列，請說明理由．

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已知二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c的圖像的頂點坐標是(，－)，且f(3)＝2

(Ⅰ)求y＝f(x)的表達式，并求出f(1)，f(2)的值；

(Ⅱ)數(shù)列{a_n}，{b_n}，若對任意的實數(shù)x都滿足g(x)·f(x)＋a_nx＋b_n＝xⁿ⁺¹，n∈N^*，其中g(shù)(x)是定義在實數(shù)R上的一個函數(shù)，求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；

(Ⅲ)設(shè)圓C_n：(x－a_n)²＋(y－b_n)²＝，若圓C_n與圓C_n+1外切，{r_n}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記S_n是前n個圓的面積之和，求．(n∈N^*)

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一、選擇題

1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A

二、填空題

11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④

三、解答題

16．解：⑴＝＝＝

＝ 3分

＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos²x

∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

∴＝2cosx 6分

⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x

＝2cos(2x＋) 8分

∵0≤x≤　　∴ ∴　　∴

∴，當x＝時取得該最小值

　，當x＝0時取得該最大值 12分

17．由題意知，在甲盒中放一球概率為時，在乙盒放一球的概率為 2分

①當n＝3時，x＝3，y＝0的概率為 4分

②當n＝4時，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值為0，2，4

(i)當ξ＝0時，有x＝2，y＝2，它的概率為 4分

(ii)當ξ＝2時，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

它的概率為

(iii)當ξ＝4時，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4

它的概率為

故ξ的分布列為

ξ

0

2

4

10分

p

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝ 12分

18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

又∵PB⊥BC ∴BC⊥面PAB ∴BC⊥PA

同理CD⊥PA ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

⑵在AD上取一點O使AO=AD，連接E，O，

則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過點O做

OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，

從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角 6分

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

∴二面角E－AC－D等于arctan 8分

⑶當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

即當F為BC中點時，PF∥面EAC 12分

19．⑴據(jù)題意，得 4分

5分

⑵由⑴得：當5＜x＜7時，y＝39(2x³－39x²＋252x－535)

當5＜x＜6時，y'＞0，y＝f (x)為增函數(shù)

當6＜x＜7時，y'＜0，y＝f (x)為減函數(shù)

∴當x＝6時，f (x)_極大值＝f (16)＝195 8分

當7≤x＜8時，y＝6(33－x)∈(150，156]

當x≥8時，y＝－10(x－9)²＋160

當x＝9時，y_極大＝160 10分

綜上知：當x＝6時，總利潤最大，最大值為195 12分

20．⑴設(shè)M(x₀，y₀)，則N(x₀，－y₀)，P(x，y)

(x₀≠－1且x₀≠3)

BN：y＝　　　②

聯(lián)立①②　　∴ 4分

∵點M(x_o，y_o)在圓⊙O上，代入圓的方程：

整理：y²＝－2(x＋1) (x＜－1) 6分

⑵由

設(shè)S(x₁、y₁)，T(x₂、y₂)，ST的中點坐標(x₀、y₀)

則x₁＋x₂＝－(3＋)

x₁x₂＝ 8分

∴

中點到直線的距離

∴

故圓與x＝－總相切． 13分

⑵另解：∵y²＝－2(x＋1)知焦點坐標為(－，0) 2分

頂點(－1，0)，故準線x＝－ 4分

設(shè)S、T到準線的距離為d₁，d₂，ST的中點O'，O'到x＝－的距離為

又由拋物線定義：d₁＋d₂＝|ST|，∴

故以ST為直徑的圓與x＝－總相切 8分

21．解：⑴由，得

令，有

∴

＝

又b₁＝2a₁＝2， 3分

∴

∴ 4分

⑵證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)

1°，當n＝1時，a₁＝1，滿足不等式 5分

2°，假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立

即，那么

即 7分

又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立 9分

⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)

∵，，∴

∵ ∵

∴ ∴

當n＝1時，，綜上

⑵證法3：

∴{a_n}為遞減數(shù)列

當n＝1時，a_n取最大值　　∴a_n≤1

由⑴中知　　

綜上可知

⑶

欲證：即證 11分

即ln(1＋T_n)－T_n＜0，構(gòu)造函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)－x

∵當x＞0時，f ' (x)＜0

∴函數(shù)y＝f (x)在(0，＋∞)內(nèi)遞減

∴f (x)在[0，＋∞)內(nèi)的最大值為f (0)＝0

∴當x≥0時，ln(1＋x)－x≤0

又∵T_n＞0，∴l(xiāng)n(1＋T_n)－T_n＜0

∴不等式成立 14分

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