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已知點E、F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點P，且它們的斜率之積為-

1

4

．
（1）求證：點P的軌跡在一個橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設過原點O的直線AB交（1）中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為(1，

1

2

)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）題的解答，當△MAB的面積取得最大值時，探索（2）題的結論中直線AB的斜率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM之間的關系．由此推廣到點M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結論成為推廣后的一個特例），試提出一個猜想或設計一個問題，嘗試研究解決．
[說明：本小題將根據你所提出的猜想或問題的質量分層評分]．

設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量

a

=（mx，y+1），向量

b

=（x，y-1），

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）點P為當m=

1

4

時軌跡E上的任意一點，定點Q的坐標為（3，0），點N滿足

PN

=2

NQ

，試求點N的軌跡方程．

（2012•浙江模擬）在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1）平面內兩點G、M同時滿足①

GA

+

GB

+

GC

=

0

，②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|，③

GM

∥

AB

（1）求頂點C的軌跡E的方程
（2）設P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為（

2

，0），已知

PF

∥

FQ

，

RF

∥

FN

且

PF

•

RF

=0．求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．

（2012•江西模擬）已知橢圓的兩個焦點F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，過F₁且與坐標軸不平行的直線l₁與橢圓相交于M，N兩點，△MNF₂的周長等于8．若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，x軸上存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值，則E的坐標為（　　）