Question

設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量

a

=（mx，y+1），向量

b

=（x，y-1），

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）點P為當m=

1

4

時軌跡E上的任意一點，定點Q的坐標為（3，0），點N滿足

PN

=2

NQ

，試求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積運算公式，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=0，化簡得mx²+y²-1=0．再根據m的取值范圍進行討論，即可得到各種情況下軌跡E的方程所表示的曲線的類型；
（2）當m=

1

4

時，軌跡E為橢圓

x2

4

+y²=1．設N（x，y），P（x₀，y₀），利用坐標轉移法，結合

PN

=2

NQ

算出   P的坐標為（3x-6，3y），代入軌跡E的方程化簡即得所求點N的軌跡方程．

解答：解：（1）∵

a

=（mx，y+1），

b

=（x，y-1），且

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即mx²+（y+1）（y-1）=mx²+y²-1=0．
即軌跡E的方程為mx²+y²-1=0
①當m=0時，方程表示兩直線，方程為y=±1；
②當m=1時，方程為x²+y²=1，表示的是單位圓；
③當m＞0且m≠1時，方程為mx²+y²=1，表示的是橢圓
0＜m＜1時，該橢圓的焦點在x軸上，m＞1時，該橢圓的焦點在y軸上；
④當m＜0時，方程mx²+y²=1，表示的是焦點在y軸的雙曲線．
（2）設N（x，y），P（x₀，y₀）
可得

PN

=（x-x₀，y-y₀），

NQ

=（3-x，-y）
∵

PN

=2

NQ

，
∴

x-x0=6-2x y-y0=-2y

，可得

x0=3x-6  y0=3y

，
當m=

1

4

時，軌跡E為

x2

4

+y²=1，將點P（x₀，y₀）代入得

(3x-6)2

4

+9y²=1
所以點N的軌跡方程為

(3x-6)2

4

+9y²=1．

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點軌跡方程并討論所得曲線的形狀．著重考查了向量的數量積運算、圓錐曲線的定義與概念和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．