Question

（2012•浙江模擬）在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1）平面內兩點G、M同時滿足①

GA

+

GB

+

GC

=

0

，②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|，③

GM

∥

AB

（1）求頂點C的軌跡E的方程
（2）設P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為（

2

，0），已知

PF

∥

FQ

，

RF

∥

FN

且

PF

•

RF

=0．求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據

GA

+

GB

=2

GO

，以|

MC

|=|

MA

|，分別得到解析式，聯立即可求出頂點C的軌跡E的方程．
（2）根據題意設出直線PQ的方程，將之代入（1）的方程中，運用設而不求韋達定理，求出|PQ|，然后根據RN⊥PQ，求出S的解析式．最后即可求出四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．

解答：解：（1）設C（x，y），
∵

GA

+

GB

=2

GO

，
由①知

GC

=2

GO

，
∴G為△ABC的重心，
∴G（

x

3

，

y

3

）
由②知M是△ABC的外心，
∴M在x軸上．
由③知M（

x

3

，0），
由|

MC

|=|

MA

|得

( x 3 )2+1

=

(x- x 3 )2+y2

化簡整理得：

x2

3

+y2=1（x≠0）
（2）F（

2

，0）恰為

x2

3

+y2=1的右焦點
設PQ的斜率為k≠0且k≠±

2

2

，
則直線PQ的方程為y=k（x-

2

）
由

y=k(x- 2 ) x2+3y2-3=0

⇒(3k2+1)x2-6

2

k2x+6k2-3=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

6 2 k2

3k2+1

，x₁•x₂=

6k2-3

3k2+1

；
則|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 6 2 k2 3k2+1 )2-4• 6k2-3 3k2+1

=

2 3 (k2+1)

3k2+1

∵RN⊥PQ，把k換成-

1

k

得|RN|=

2 3 (k2+1)

3+k2

∴S=

1

2

|PQ|•|RN|
=

6(k2+1)2

(3k2+1)(k2+3)

=2-

8

3(k2+ 1 k2 )+10

）
∴3(k2+

1

k2

)+10=

8

2-S

∵k2+

1

k2

≥2，
∴

8

2-S

≥16，
∴

3

2

≤S＜2，（當k=±1時取等號）
又當k不存在或k=0時S=2
綜上可得

3

2

≤S≤2，
∴S_max=2，S_min=

3

2

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量數量積的運算，以及求點的軌跡方程．通過運用設而不求韋達定理，方便的求出坐標的關系，考查了對知識的綜合運用能力，屬于中檔題．