Question

（2012•江西模擬）已知橢圓的兩個焦點F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，過F₁且與坐標軸不平行的直線l₁與橢圓相交于M，N兩點，△MNF₂的周長等于8．若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，x軸上存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值，則E的坐標為（　　）

• A．(

  13

  6

  ，0)
• B．(

  15

  4

  ，0)
• C．(

  17

  8

  ，0)
• D．(

  12

  5

  ，0)

Answer 1

分析：先確定橢圓的方程，再取兩個特殊位置，求出

PE

•

QE

，利用x軸上存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值，即可求得E的坐標．

解答：解：由題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=

3

，4a=8
∴a=2，b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
取直線l⊥x軸，則可得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），所以

PE

•

QE

=（m-1，-

3

2

）（m-1，

3

2

）=（m-1）²-

3

4

取直線l為x軸，則可得P（-2，0），Q（2，0），所以

PE

•

QE

=（m+2，0）•（m-2，0）=m²-4
由題意可得，（m-1）²-

3

4

=m²-4，∴m=

17

8

∴E的坐標為(

17

8

，0)
故選C．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．