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設(shè)雙曲線的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點．（如圖）
（1）證明：無論P點在什么位置，總有；
（2）若以O(shè)P為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍．

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一、

1．B       2．A      3．D      4．D      5．C      6．B       7．A      8．C      9．D      10．A

11．A    12．B

1．由題意知，解得或，故選B．

2．原不等式即為，化得，解得．故選A．

3．由條件．對上，所以

又，所以．故選D．

4．設(shè)到的角為的斜率的斜率，

則，于是．故選D．

5．由解得，即其反函數(shù)為，又在原函數(shù)中由得，即其反函數(shù)中．故選C．

6．不等式組化得  或

       平面區(qū)域如圖所示，陰影部分面積：

       ，故選B．

7．由已知得，而

       ．故選A．

8．．故選c．

9．令，則，即的圖象關(guān)于（0，0）點對稱，將的圖象向下平移6個單位．得題中函數(shù)的圖象，則它的對稱中心為（0，）．故選D．

10．．故選A．

11．由條件得：，則得，所以．故選A．

12．由已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內(nèi)切圓是球的大圓．設(shè)底面正三角形的邊長為，球半徑為，則，又，解得，則，于是．故選B．

二、

13．與平行，，解得

       即

14．設(shè)數(shù)列的公比為，則

       ，兩式相除，得，則．

       所以．

15．由題意知，直線是拋物線的準線，而到的距離等于到焦點的距離．即求點到點的距離與到點的距離和的最小值，就是點與點的距離，為．

16．一方面．由條件，，得，故②正確．

另一方面，如圖，在正方體中，把、分別記作、，平面、平面、平面分別記作、、，就可以否定①與③．

三、

17．解：，且

       ，即

       又．

       由正弦定理

       又

       即的取值范圍是區(qū)間．

18．解：（1）設(shè)甲、乙兩人通過測試的事件分別為、，則，

              、相互獨立，∴甲、乙兩人中只有1人通過測試的概率

              ．

（2）甲答對題數(shù)的所有可能值為

    ∴甲答對題數(shù)的數(shù)學期望為．

19．解：（1）由已知，∴數(shù)列的公比，首項

              又數(shù)列中，

              的公差，首項

              （時也成立）

           ∴數(shù)列、的通項公式依次為．

       （2）記

              當時，和都是增函數(shù)

              即時，是增函數(shù)

              當4時，；

              又

              時或，∴不存在，使．

20．（1）證明；在直三棱柱中，

              面

              又

              面，而面，

           ∴平面平面

（2）解：取中點，連接交于點，則．

與平面所成角的大小等于與平面所成角的大小，取中點，連接、，則等腰三角形中，．

又由（1）得面．

面

為直線與面所成的角

又

，

∴直線與平面所成的角為．

（注：本題也可以能過建立空間直角坐標系解答）

21．解：（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為

              ，半焦距

              由已知得，解得，則

              故橢圓及雙曲線方程分別為及．

       （2）由向量的數(shù)量積公式知，表示向量與夾角的余弦值，設(shè)，即求的值．

              由余弦定理得              ①

由橢圓定義得                       ②

由雙曲線定義得                     ③

式②+式③得，式②一式③

得

將它們代人式①得，解得，

所以．

22，解：（1）由

得

要使在（0，1]上恒為單調(diào)函數(shù)，只需或在（0，1]上恒成立．

∴只需或在（0，1]上恒成立

              記

              或

       （2），

           ∴由得

        化簡得

        時有，即，

        則                     ①

              構(gòu)造函數(shù)，則

              在處取得極大值，也是最大值．

在范圍內(nèi)恒成立，而

從而在范圍內(nèi)恒成立．

∴在時，

而時，，∴當時，恒成立

即時，總有                                       ②

由式①和式②可知，實數(shù)的取值范圍是．