Question

設雙曲線的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點．（如圖）
（1）證明：無論P點在什么位置，總有；
（2）若以OP為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出、的坐標，計算的值，把雙曲線方程與OP方程聯立解得 ，比較可得．
（2）由條件得：，根據k²＞0，得到b＞，計算e= 的范圍．
解答：解：（1）設OP的方程為 y=kx，AR的方程為 y=，
解得 =，同理可得 ．
∴=．
設，則由雙曲線方程與OP方程聯立解得：
∴ 
∵點P在雙曲線上，∴b²-a²k²＞0，無論點P在什么位置，總有  ．
（2）由條件得：，即  ，
∴4b＞a，∴e==＞=，即 e＞．
點評：本題考查兩個向量的數量積，雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，式子的變形、化簡是解題的難點．