Question

已知曲線C：4x²-y|y|=1．
（Ⅰ）若直線l：y=2x+m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且

OA

•

OB

＜

1

3

（其中O為原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分類討論當(dāng)y≥0時(shí)，曲線C表示雙曲線的上半部分（包括與y軸的交點(diǎn)）．當(dāng)y＜0時(shí)，曲線C：）表示橢圓的下半部分．因此曲線C由以上兩部分構(gòu)成，如圖所示．雙曲線的漸近線為y=±2x，直線l：y=2x+m與漸近線y=2x平行，且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)．把直線與曲線C的方程聯(lián)立即可得出位置關(guān)系．
（II）直線l：y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點(diǎn)．聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積即可得出．

解答：解：（I）當(dāng)y≥0時(shí)，曲線C：4x²-y|y|=1化為4x²-y²=1，即

x2

1 4

-y2=1（y≥0）表示雙曲線的上半部分（包括與y軸的交點(diǎn)）．當(dāng)y＜0時(shí)，曲線C：4x²-y|y|=1化為4x²+y²=1，即

x2

1 4

+y2=1（y＜0）表示橢圓的下半部分．因此曲線C由以上兩部分構(gòu)成，如圖所示．
雙曲線的漸近線為y=±2x，直線l：y=2x+m與漸近線y=2x平行，且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，
聯(lián)立

y=2x+m 4x2-y2=1

化為4mx+m²+1=0可得m≠0．可知此直線與曲線C的雙曲線部分最多只能有一個(gè)交點(diǎn)．
聯(lián)立

y=2x+m 4x2+y2=1

得8x²+4mx+m²-1=0，由△=0交點(diǎn)m=-

2

時(shí)直線與橢圓的下半部分相切．
通過對(duì)m分類討論：m≥1，0≤m＜1，-1＜m＜0，-

2

＜m≤-1，m=-

2

，m＜-

2

．可得：

當(dāng)m≥1時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0≤m＜1時(shí)，直線只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，直線與雙曲線和橢圓各有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)- 2 ＜m≤-1時(shí)，直線與橢圓有二個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)m=- 2 時(shí)，直線只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)；

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m=-

2

或m≥0．
（II）直線l：y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點(diǎn)．
聯(lián)立l：y=kx+1與4x²-y²=1可得：（4-k²）x²-2kx-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題可得-2＜k＜2，

又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1， 由 OA • OB ＜ 1 3 可得x1x2+y1y2＜ 1 3 ，解得k2＞1，

∴-2＜k＜-1或1＜k＜2．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-2，-1）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、分類討論、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．