中的x1.x2.不等式成立.求a的取值范圍. 得分評卷人【查看更多】

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調區間；
（2）設函數f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先閱讀材料：對于函數圖象上的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數圖象上存在點M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當x₀=

x1+x2

2

時，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由．

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已知函數f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數g（x）在區間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實數a，對任意給定的集合T中的元素t，在區間[1，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3 ）函數f（x）圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數f（x）在AB中點M（x₀，y₀）處切線的斜率？請寫出判斷過程．

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已知函數f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數g（x）在區間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實數a，對任意給定的集合T中的元素t，在區間[1，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3 ）函數f（x）圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數f（x）在AB中點M（x₀，y₀）處切線的斜率？請寫出判斷過程．

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若數列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數）對任意n∈N^*都成立，則我們把數列{a_n}稱為“L型數列”．
（1）試問等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（公比為r）是否為L型數列？若是，寫出對應p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關于L型數列的問題，并加以解決．（本小題將根據所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

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已知函數f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關系式并求f(x)的單調減區間；

（2）證明：對任意實數0<x₁<x₂<1, 關于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有實數解

（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f(x)是在閉區間[a,b]上連續不斷的函數，且在區間(a,b)內導數都存在，則在(a,b)內至少存在一點x₀，使得.如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：

當0<a<b時，（可不用證明函數的連續性和可導性）

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一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

（1）A （2）D （3） B （4） D

（5）D （6）A （7） B （8） C

二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

（9） (1，-1) （10），（11） 2 （12）R ，R

（13） 2 （14）

三.解答題（本大題共6小題，共80分）

15. 解：（Ⅰ）. ………………………………3分

又，cosC=>0，

故在中，、是銳角. ∴，.

∴. ……………………7分

（Ⅱ） . ……………………10分

由正弦定理 . 解得，c=6.

∴. ∴，即AC=5 . ……………………13分

16. 解：（I）依條件得， ……………………2分

解得. …………………………………………4分

所以a_n=3+(n-1)=n+2. …………………………………………6分

（II）P_n=， b₆=2×2^6-1=64，

由>64得n²+5n-128>0. ………………………………9分

所以n(n+5)>128.

因為n是正整數，且n=9時，n(n+5)=126，且n(n+5)是遞增的，

所以當n≥10時，n(n+5)>128.

即n≥10時，P_n> b₆. …………………………………………………13分

17. 解：（I）甲答對試題數的可能取值為0、1、2、3.

∵，，

，， …………………………4分

∴ 甲答對試題數的概率分布如下：

0

1

2

3

P

故甲答對試題數的數學期望為

. …………………………7分

（II）設甲、乙兩人通過測試的事件分別為A、B，則

，

. …………………………………………9分

、B相互獨立，

∵甲、乙兩人都未通過測試的概率為

. ……………………………11分

∴甲、乙兩人至少有一個通過測試的概率為

. ………………………………………13分

18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，

∴∠CAD是異面直線AD與A₁C₁所成的角. …………………………2分

連結CD，易知AD=CD=a，AC= a，

在△ACD中易求出cos∠CAD=.

因此異面直線AD與A₁C₁所成的角的余弦值為. …………………………4分

（Ⅱ）證明：

∵D是B₁B的中點，

∴△C₁B₁D≌△ABD.

∴AD= C₁D.

于是△ADC₁是等腰三角形.

∵E是AC₁的中點，

∴DE⊥AC₁. ……………………6分

設AC的中點為G，

∴EG∥C₁C∥DB，EG=C₁C= DB.

∴四邊形EGBD是平行四邊形.

∴ED∥GB.

∵G是AC的中點，且AB=BC，

∴GB⊥AC.

∴ED⊥AC.

∵AC∩AC₁=A，

∴ED⊥平面ACC₁A₁. …………………………………………………8分

（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁.）

（Ⅲ）解：∵C₁D，CB共面，

故C₁D，CB必相交，設交點為F，連結AF.

∴平面ADC₁與平面ABC所成二面角是C-AF-C₁. ………………………………10分

∵DB=C₁C ，DB∥C₁C，

∴B是CF的中點.

∴AC=CB=BF= a.

在△ACF中，由余弦定理可求出AF=a.

∴易判斷出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF.

∵C₁C⊥面ACF ，

∴AC₁⊥AF.

∴∠C₁AC是所求二面角的平面角. …………………………………………12分

∵tan∠C₁AC==2，

∴平面ADC₁與平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos）. …………13分

19. 解：（Ⅰ）∵，

∴. ……………………………………3分

令得，=0.

，

∴方程有兩個不同的實根、.

令，由可知：

當時，；

當；

∴是極大值點，是極小值點. ……………………………………7分

（Ⅱ），

所以得不等式.

即. ………10分

又由（Ⅰ）知，

代入前面的不等式，兩邊除以（1+a），

并化簡得，解之得：，或（舍去）.

所以當時，不等式成立. …………………………14分

20. 解：(Ⅰ)∵|

∴. …………………………………………………2分

由， .

由（1）、（2）可知點P到直線x=，

再由橢圓的第二定義可知，點P的軌跡C是橢圓. …………………………4分

設橢圓C的方程為：，

由（3）可知b =1，∴a²=b²+c²=1+2=3.

∴橢圓C的方程為: . …………………………………5分

（Ⅱ）假設存在符合條件的直線l，并設l的方程為:y=kx+m，M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

.

則x₁+x₂= -. ………………7分

Δ=36k²m²-12(m²-1)(1+3k²)=12[3k²-m²+1]＞0 ①

設線段MN的中點G(x₀，y₀)，　

x₀=，

線段MN的垂直平分線的方程為：y -.

∵|， ∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點.

∴-1-. ∴m=. ② ………9分

②代入①，得3k²-(. ③

∵|的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形.

∴點B到直線MN的距離d=. …………………………10分

∵,

又∵|MN|=

=

=,

∴. …………………………13分

解得k²=，滿足③式. 代入②，得m=.

直線l的方程為：y=. ……………………………………………14分

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