Question

若數列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數）對任意n∈N^*都成立，則我們把數列{a_n}稱為“L型數列”．
（1）試問等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（公比為r）是否為L型數列？若是，寫出對應p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請你提出一個關于L型數列的問題，并加以解決．（本小題將根據所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等差數列，等比數列的定義，兩種類型的數列都可寫成a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數）的形式，所以等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（公比為r）都是L型數列．
（2）欲證數列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數列，只需證明數列的后一項與前一項的比為常數．），根據x₁、x₂是x²+px+q=0的兩實數根，p²-4q＞0，可得a_n+1-x₁a_n=x₂（a_n-x₁a_n-1），即可判斷數列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）為首項，公比為x₂的等比數列．
（3）此題答案不唯一，只要符合題意就行．例如：已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，求數列{a_n-a_n-1}的通項公式．利用構造法，把a_n+1+a_n=2a_n-1兩邊均減2a_n，即可證明．
解答：解：（1）答：等差數列{a_n}、等比數列{b_n}（n∈N^*）都是L型數列．
理由 當數列{a_n}（n∈N^*）是等差數列時，有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
即a_n+2-2a_n+1+a_n=0，且相應的p=-2，q=1．                       
所以等差數列{a_n}（n∈N^*）是L型數列．
同樣，當數列{b_n}（n∈N^*）是等比數列時，有b_n+2=rb_n+1（r為公比），
即b_n+2-rb_n+1+0•b_n=0，且相應的p=-r，q=0．                     
所以等比數列{b_n}（n∈N^*）是L型數列．
證（2）∵a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，q≠0），x₁、x₂是x²+px+q=0的兩實數根，p²-4q＞0，
∴x₁≠x₂，x₁x₂≠0，x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，a_n+1-（x₁+x₂）a_n+x₁x₂a_n-1=0．  
∴a_n+1-x₁a_n=x₂a_n-x₁x₂a_n-1=x₂（a_n-x₁a_n-1）．
又b-ax_i≠0（i=1，2），a₁=a，a₂=b，
∴數列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）為首項，公比為x₂的等比數列．
（同理可證，數列{a_n+1-x₂a_n}（n∈N^*）是等比數列）
（3）此題答案不唯一，只要符合題意就行．
例如：已知L型數列{a_n}滿足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，
求數列{a_n-a_n-1}的通項公式．
解答：∵a_n+1+a_n-2a_n-1=0，
∴a_n+1+a_n=2a_n-1，a_n+1-a_n=2a_n-1-2a_n=-2（a_n-a_n-1）
∴=-2
∴數列{a_n-a_n-1}為等比數列，公比為-2，首項為2-1=1
∴數列{a_n-a_n-1}的通項公式為a_n-2a_n-1=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1
點評：本題主要考查了利用等差，等比數列的通項公式，判斷新數列的性質．