Question

已知函數f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數g（x）在區間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實數a，對任意給定的集合T中的元素t，在區間[1，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3 ）函數f（x）圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數f（x）在AB中點M（x₀，y₀）處切線的斜率？請寫出判斷過程．

Answer 1

解：（1）∵g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），
∴g（x）在區間（0，1]上單調遞增，在區間[1，e）上單調遞減，
且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e，
∴g（x）的值域T為（0，1]．
（2）則由（1）可得t∈（0，1]，
原問題等價于：對任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上總有兩個不同的實根，
故f（x）在[1，e]不可能是單調函數，
∵，（1≤x≤e），，
當a≥1時，f′（x）＞0，f（x）在區間[1，e]上單調遞增，不合題意．
當a時，f′（x）＜0，f（x）在區間[1，e]上單調遞減，不合題意．
當1＜，即時，f（x）在區間[1，]上單調遞減；f（x）在區間[]上單遞增，
由上可得a∈（），此時必有f（x）的最小值小于等于0，
且f（x）的最大值大于等于1，
而由f（x）_min=f（）=2+lna≤0，
可得a，則a∈∅．
綜上，滿足條件的a不存在．
（3）k_AB==
=
=a-，
而==a-，
故有=，
即==，
令t=，
則上式化為，
令F（t）=lnt+-2，
則由=＞0，
可得F（t）在（0，1）上單調遞增，
故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+無解，
所以函數f（x）圖象上是不存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
使得割線AB的斜率恰好等于函數f（x）在AB中點M（x₀，y₀）處切線的斜率．
分析：（1）由g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），知g（x）在區間（0，1]上單調遞增，在區間[1，e）上單調遞減，由此能求出g（x）的值域T．
（2）則由（1）可得t∈（0，1]，原問題等價于：對任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上總有兩個不同的實根，
故f（x）在[1，e]不可能是單調函數，由此能推導出滿足條件的a不存在．
（3）k_AB===a-，而==a-，==，由此能推導出函數f（x）圖象上是不存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數f（x）在AB中點M（x₀，y₀）處切線的斜率．
點評：本題考查函數的值域的求法，探索是否存在滿足條件的實數，探索函數圖象上滿足條件的兩點是否存在．綜合性強，難度大，對數學思維能力要求較高，有一定的探索性．