2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷理科數學（四）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的．
1．設全集
，則
是
A．
B．
或
C．
D．
且
2．己知復數
滿足
，則等于
A．
B．
C．
D．
3．設等差數列
的前
項和為
，若
，則
A．63 B．
4．設
、是不同的直線，
、
、
是不同的平面，有以下四個命題：
① 若
，則
② 若
，則
③ 若
，則
④ 若
，則
其中真命題的序號是
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
5．已知
，則
的值為
A．
B．
C．
D．
6．
是
的展開式中含
的項的系數，則
A．1 B．2 C．3 D．4
7．設雙曲線
的離心率為
，且它的一條準線與拋物線
的
準線重合，則此雙曲線的方程為
A．
B．
C．
D．
8．
的展開式中
的系數是
A．
B．
C．3 D．4
9．從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中有且只有1
名女生，則選派方案共有
A．108種 B．186種 C．216種 D．270種
10．已知
是
上的增函數，那么
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．（1，3）
11．設奇函數
在
上為增函數，且
，則不等式
解集
為
A．
B．
C．
D．
12．是定義在上的非負可導函數，且滿足
，對任意正數、
若
，則必有
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題。每小題5分．共20分．把答案填在題中橫線上．
13．在某項測量中，測量結果
服從正態分布
，若在在（0，1）內取值的 概率為0．4，則在（0，2）內取值的概率為
．
14．平面上的向量
滿足
，且
，若向量
,
則
的最大值為
。
15．在正方體
中，
與平面
所成的角為
．
16．給出下列3個命題：
① 命題“存在
”的否定是“任意
”；
② “
”是“直線
與直線
相互垂直”的必要不充分條件；
③ 關于的不等式
的解集為
，則
．
其中為真命題的序號是
．
三、解答題：本大題共6小題。共70分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知函數
的最小正周期為
．
（1）求的單調遞增區間；
（2）在
中，角
，
，
的對邊長分別是，，
滿足
，求函數
的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）
有編號為l，2，3，…，的個學生，入坐編號為1，2，3，…，的個座位．每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為，已知
時，共有6種坐法．
（1）求的值；
（2）求隨機變量的概率分布列和數學期望．
19．（本小題滿分12分）
已知數列
是其前項和，且
．
（1）求數列的通項公式；
（2）設
是數列
的前項和，求使得
對所有
都成立的最小正整數。
20．（本小題滿分12分）
已知四棱錐
的底面
是正方形，且
底面，其中
．
（1）求二面角
的大小；
（2）在線段
上是否存在一點
，使
平面
．若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分10分）
已知橢圓
，過焦點垂直于長軸的弦長為l，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于，兩點，交直線
于點，點
分
所成比為
，點分所成比為
，求證
為定值，并計算出該定值．
22．（本小題滿分12分）
已知函數
．
（1）若在
上是減函數，求的取值范圍；
（2）函數是否既有極大值又有極小值?若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
一、
1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．A 10．C
11．D 12．A
1～11．略
12．解：
，
在
是減函數，由
，得
，
，故選A．
二、
13．0．8 14．
15．
16．①③
三、
17．解：（1）
的單調遞增區間為
（2）
18．解：（1）當
時，有
種坐法，
，即
，
或
舍去． 
（2）
的可能取值是0，2，3，4
又
的概率分布列為
0
2
3
4
則
．
19．解：（1）
時，
，
又
，
是一個以2為首項，8為公比的等比數列
（2）
最小正整數
．
20．解法一：
（1）設
交
于點
平面
．
作
于點
，連接
，則由三垂線定理知：
是二面角
的平面角．
由已知得
，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當
是
中點時，有
平面
．
證明：取
的中點
，連接
、
，則
，
，故平面即平面
．
又
平面，
平面．
解法二：由已知條件，以
為原點，以
、
、
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，則
（1）
，
，設平面的一個法向量為
，
則
取
設平面
的一個法向量為
，則
取
．
二面角的大小為60°．
（2）令
，則
，
，
由已知，
，要使平面，只需
，即
則有
，得
當是中點時，有平面．
21．解：（1）由條件得
，所以橢圓方程是
．
（2）易知直線
斜率存在，令
由
由
，
即
得
，
即
得
將代入
有
22．解：（1）
在
上為減函數，
時，
恒成立，
即
恒成立，設
，則
時，
在（0，
）上遞減速，
．
（2）若
即有極大值又有極小值，則首先必需
有兩個不同正要
，
，
即
有兩個不同正根
令
∴當
時，有兩個不同正根
不妨設
，由
知，
時，
時，
時，
∴當時，既有極大值
又有極小值
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