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江蘇省揚(yáng)大附中2008-2009學(xué)年度第二學(xué)期高三月考

數(shù)學(xué)

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上．

1．若集合，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)= ▲ ．

試題詳情

2．已知虛數(shù)z滿(mǎn)足等式：，則 ▲ ．

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3．函數(shù)的最小正周期是 ▲ ．

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4．某算法的偽代碼如右：則輸出的結(jié)果是 ▲ ．

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5．已知條件p:x≤1，條件q：，則p是q的 ▲ 條件．

(填“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”或是“既不充分也不必要條件”)

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6．已知米粒等可能地落入如圖所示的四邊形內(nèi)，如果通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)米粒落入△BCD內(nèi)的頻率穩(wěn)定在附近，那么點(diǎn)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之比約為 ▲ ．

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7．在等差數(shù)列中，若，則 ▲ ．

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8．．給出下列關(guān)于互不相同的直線(xiàn)m、l、n和平面α、β的四個(gè)命題：

①若；

②若m、l是異面直線(xiàn)，；

③若；

④若．

其中為真命題的是 ▲ ．

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9．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ ．

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10．當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是____ ▲ ___．

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11．在直角坐標(biāo)系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，，，則實(shí)數(shù)m= ▲ ．

試題詳情

12．橢圓，右焦點(diǎn)F（c,0），方程的兩個(gè)根分別為x₁,x₂，則點(diǎn)P（x₁,x₂）與圓的位置關(guān)系是 ▲ ．

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13．三位同學(xué)合作學(xué)習(xí)，對(duì)問(wèn)題“已知不等式對(duì)于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路．

試題詳情

甲說(shuō)：“可視為變量，為常量來(lái)分析”．

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乙說(shuō)：“尋找與的關(guān)系，再作分析”．

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丙說(shuō)：“把字母單獨(dú)放在一邊，再作分析”．

試題詳情

參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ ．

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14．給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m 叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作= m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：

試題詳情

①函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?sub>；②函數(shù)y=的圖像關(guān)于直線(xiàn)（）對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)y=是周期函數(shù)，最小正周期為1；④函數(shù)y=在上是增函數(shù)。

其中正確的命題的序號(hào) ▲ ．

試題詳情

二、解答題：（本大題共6小題,共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟．）

15、（本小題滿(mǎn)分14分）

試題詳情

某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)且滿(mǎn)分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖．觀(guān)察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）求出物理成績(jī)低于50分的學(xué)生人數(shù)；

(2)估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及

以上為及格）

(3) 從物理成績(jī)不及格的學(xué)生中任選兩人，

求他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率．

試題詳情

16．（本小題滿(mǎn)分14分）

試題詳情

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且．

（1）求角A；

試題詳情

（2）若m，n，試求|mn|的最小值．

試題詳情

17．（本小題滿(mǎn)分15分）

試題詳情

如圖，、分別為直角三角形的直角邊和斜邊的中點(diǎn)，沿將折起到的位置，連結(jié)、，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

18．（本小題滿(mǎn)分15分）

已知直線(xiàn)：（為常數(shù)）過(guò)橢圓（）的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為．

（1）若，求的值；

（2）若，求橢圓離心率的取值范圍．

19．（本小題滿(mǎn)分16分）

已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間；

試題詳情

(2)若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)證明：對(duì)任意，都有成立．

20．(本小題16分)

已知：集合．

（1）證明：不存在，使得1，，依次既是一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)，又是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)。

試題詳情

（2）是否存在，使得1，，依次既是一個(gè)等差數(shù)列的第1、3、8項(xiàng)，又是一個(gè)等比數(shù)列的第1、3、8項(xiàng)？證明你的結(jié)論。

試題詳情

（3）是否存在，使得1，，依次既是一個(gè)等差數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)，又是一個(gè)等比數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)？證明你的結(jié)論．

附加題

試題詳情

1．選修4―2　矩陣與變換

二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(diǎn)(－1，－1)與(0，－2)．

（1）求矩陣M；

（2）設(shè)直線(xiàn)l在變換M作用下得到了直線(xiàn)m：x－y＝4，求l的方程．

試題詳情

2．選修4―4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)

試題詳情

圓和圓的極坐標(biāo)方程分別為．

試題詳情

（1）把圓和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

試題詳情

（2）求經(jīng)過(guò)圓，圓兩個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程．

試題詳情

3．動(dòng)點(diǎn)P在x軸與直線(xiàn)l：y＝3之間的區(qū)域（含邊界）上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，1）和直線(xiàn)l的距離之和為4．

（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

試題詳情

（2）求曲線(xiàn)C與曲線(xiàn)所圍圖形的面積．

試題詳情

4．一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f₁(x)=x，f₂(x)=x²，f₃(x)=x³，f₄(x)=sinx，f₅(x)=cosx，f₆(x)=2．

（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；

試題詳情

（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

試題詳情

充分不必要

①②④

或0

點(diǎn)P在圓內(nèi)

①②③

15．解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（2）依題意，成績(jī)60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%.

于是，可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（3）“成績(jī)低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率為： ……………14分

16．解：（1），

即，

∴，∴．

∵，∴．………………………………………………………………7分

（2）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．

從而．

∴當(dāng)＝1，即時(shí)，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

17．(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點(diǎn)，

EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分

(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

BC平面A′BC

∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分

注：直角三角形條件在證這兩問(wèn)時(shí)多余了，可直接用兩側(cè)面的直角三角形證明即可。

18．解：（1）取弦的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM

由平面幾何知識(shí)，OM=1

得：，

∵直線(xiàn)過(guò)F、B ，∴則 …………………………………………6分

（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM

則

解得

∴ …………………………………………15分

（本題也可以利用特征三角形中的有關(guān)數(shù)據(jù)直接求得）

19．

第(3)問(wèn)的構(gòu)造法可直接用第二種方法，作差后用代換即可。

20．解：（1）由方程組的解為不符合題設(shè)，可證。_………3_分

（2）假設(shè)存在。

由方程組，得，即_…5_分

設(shè)（），可證：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且。

，設(shè)，則。_………7_分

①當(dāng)時(shí)，，遞增，故，

于是，在上單調(diào)遞減。

設(shè)，則，在上遞增，，即，所以。_………9_分

②當(dāng)時(shí)，，遞減，故，

于是，在上單調(diào)遞減。

，在上遞減，，即，所以

由函數(shù)（）的性質(zhì)可知滿(mǎn)足題設(shè)的不存在。_………11_分

（3）假設(shè)1，，是一個(gè)公差為的等差數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)，又是一個(gè)等比為等比數(shù)列的第r、s、t項(xiàng)。于是有：，

，

從而有，所以。

設(shè)，同（2）可知滿(mǎn)足題設(shè)的不存在_………16_分

注：證法太繁，在第二問(wèn)中，可用來(lái)表示，消去可得，則構(gòu)造易得到極值點(diǎn)為。

附加題參考答案

附1．（1）設(shè)M=，則有=，=，

所以且解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直線(xiàn)l上一點(diǎn)P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P’(x’，y’)．

因?yàn)?sub>，所以又m：，

所以直線(xiàn)l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分

附2．解：以有點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．

（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標(biāo)方程．

同理為圓的直角坐標(biāo)方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為． …………………………10分

附3．（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得．

化簡(jiǎn)，得．………………………………………………………………5分

（2）．……………………………………10分

附4．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知 ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．，

；………………8分

故ξ的分布列為

答：ξ的數(shù)學(xué)期望為 …………10分

同步練習(xí)冊(cè)答案

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