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已知圓柱OO₁底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面．動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸OO₁逆時針旋轉θ（0＜θ＜π）后，邊B₁C₁與曲線Γ相交于點P．
（1）求曲線Γ長度；
（2）當θ=

π

2

時，求點C₁到平面APB的距離；
（3）是否存在θ，使得二面角D-AB-P的大小為

π

4

？若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請說明理由．

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1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

充分不必要

4

①②④

9

10

11

12

13

14

或0

點P在圓內

①②③

15．解： （1）因為各組的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

所以低于50分的人數為（人）………………………………………….5分

（2）依題意，成績60及以上的分數所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學生成績的合格率是%.

于是，可以估計這次考試物理學科及格率約為%……………………………………9分.

（3）“成績低于50分”及“[50,60)”的人數分別是6,9。所以從成績不及格的學生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：  ……………14分

16．解：（1），

即，

∴，∴．

∵，∴．………………………………………………………………7分

（2）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．

從而．

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

17．(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………7分

(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………14分

注：直角三角形條件在證這兩問時多余了，可直接用兩側面的直角三角形證明即可。

18．解：（1）取弦的中點為M，連結OM

由平面幾何知識，OM=1

     得：，  

∵直線過F、B ，∴則     …………………………………………6分

（2）設弦的中點為M，連結OM

則

       解得     

∴                    …………………………………………15分

（本題也可以利用特征三角形中的有關數據直接求得）

19．

第(3)問的構造法可直接用第二種方法，作差后用代換即可。

20．解：（1）由方程組的解為不符合題設，可證。_{………3分}

（2）假設存在。

由方程組，得，即_…5分

設（），可證：當時，單調遞減且；當時，單調遞減且。

，設，則。_{………7分}

①當時，，遞增，故，

于是，在上單調遞減。

設，則，在上遞增，，即，所以。_{………9分}

②當時，，遞減，故，

于是，在上單調遞減。

，在上遞減，，即，所以

由函數（）的性質可知滿足題設的不存在。_{………11分}

（3）假設1，，是一個公差為的等差數列的第r、s、t項，又是一個等比為等比數列的第r、s、t項。于是有：，

，

從而有， 所以。

設，同（2）可知滿足題設的不存在_{………16分}

注：證法太繁，在第二問中，可用來表示，消去可得，則構造易得到極值點為。

附加題參考答案

附1．（1）設M=，則有=，=，

所以且   解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直線l上一點P(x，y)經矩陣M變換后為點P’(x’，y’)．

因為，所以又m：，

所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分

附2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程． 

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

附3．（1）設P（x，y），根據題意，得．

化簡，得．………………………………………………………………5分

（2）．……………………………………10分

附4．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．   ，

 ；………………8分

 故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

  答：ξ的數學期望為       …………10分