題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分15分）
已知函數
，其中
，
（
），若
相鄰兩對稱軸間的距離不小于
．
（Ⅰ）求
的取值范圍；
（Ⅱ）在
中，
分別是角
的對邊，
，當最大時，
，求的面積．
（本小題滿分15分）
某旅游商品生產企業，2009年某商品生產的投入成本為1元/件，
出廠價為流程圖的輸出結果
元/件，年銷售量為10000件，
因2010年國家長假的調整，此企業為適應市場需求，
計劃提高產品檔次，適度增加投入成本．若每件投入成本增加的
比例為
（
），則出廠價相應提高的比例為
，
同時預計銷售量增加的比例為
．
已知得利潤
（出廠價
投入成本）
年銷售量．
（Ⅰ）寫出2010年預計的年利潤
與投入成本增加的比例的關系式；
（Ⅱ）為使2010年的年利潤比2009年有所增加，
問：投入成本增加的比例應在什么范圍內？
（本小題滿分15分）某地有三個村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個頂點處，已知AB=AC=6km，現計劃在BC邊的高AO上一點P處建造一個變電站. 記P到三個村莊的距離之和為y.
（1）設
，把y表示成
的函數關系式；
（2）變電站建于何處時，它到三個小區的距離之和最小？
（本小題滿分15分）
如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
的橢圓，其右焦點為F．若點P(－1,1)為圓O上一點，連結PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．（1）求橢圓C的標準方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．
（本小題滿分15分）已知等差數列{an}中，首項a1＝1，公差d為整數，且滿足a1+3＜a3，a2+5＞a4，數列{bn}滿足
，其前n項和為Sn．（1）求數列{an}的通項公式an；（2）若S2為S1，Sm(m∈N*)的等比中項，求正整數m的值．
1
2
3
4
5
6
7
8
2
9
充分不必要
4
①②④
9
10
11
12
13
14
或0
點P在圓內
①②③
15．解： （1）因為各組的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：
所以低于50分的人數為
（人）………………………………………….5分
（2）依題意，成績60及以上的分數所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），
頻率和為 
所以，抽樣學生成績的合格率是
%.
于是，可以估計這次考試物理學科及格率約為%……………………………………9分.
（3）“成績低于50分”及“[50,60)”的人數分別是6,9。所以從成績不及格的學生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：
……………14分
16．解：（1）
，
即
，
∴
，∴
．
∵
，∴
．………………………………………………………………7分
（2）m
n 
，
|mn|
．
∵，∴
，∴
．
從而
．
∴當
＝1，即
時，|mn|
取得最小值
．
所以，|mn|
．………………………………………………………………14分
17．(1)證明：
E、P分別為AC、A′C的中點，
EP∥A′A，又A′A
平面AA′B，EP
平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分
注：直角三角形條件在證這兩問時多余了，可直接用兩側面的直角三角形證明即可。
18．解：（1）取弦的中點為M，連結OM
由平面幾何知識，OM=1
得：
，
∵直線過F、B ，∴
則
…………………………………………6分
（2）設弦的中點為M，連結OM
則
解得
∴
…………………………………………15分
（本題也可以利用特征三角形中的有關數據直接求得）
19．
 |
第(3)問的構造法可直接用第二種方法，作差后用
代換
即可。
20．解：（1）由方程組
的解為
不符合題設，可證。………3分
（2）假設存在。
由方程組
，得
，即
…5分
設
（
），可證：當
時，
單調遞減且
；當
時，單調遞減且
。
，設
，則
。………7分
①當時，
，
遞增，故
，
于是
，在
上單調遞減。
設
，則
，
在上遞增，
，即
，所以
。………9分
②當時，
，遞減，故，
于是，在
上單調遞減。
，在上遞減，，即，所以
由函數（）的性質可知滿足題設的
不存在。………11分
（3）假設1，
，
是一個公差為
的等差數列的第r、s、t項，又是一個等比為
等比數列的第r、s、t項。于是有：
，
，
從而有
， 所以。
設
，同（2）可知滿足題設的不存在………16分
注：證法太繁，在第二問中，可用
來表示，消去
可得
，則構造
易得到極值點為
。
附加題參考答案
附1．（1）設M=
，則有
=
，
=
，
所以
且
解得
，所以M=
．…………………………5分
（2）任取直線l上一點P(x，y)經矩陣M變換后為點P’(x’，y’)．
因為
，所以又m：
，
所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分
附2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
為圓
的直角坐標方程．
同理
為圓
的直角坐標方程．
……………………………………6分
（2）由
相減得過交點的直線的直角坐標方程為
．
…………………………10分
附3．（1）設P（x，y），根據題意，得
．
化簡，得
．………………………………………………………………5分
（2）
．……………………………………10分
附4．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知
………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4． 
，
；………………8分
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
答：ξ的數學期望為
…………10分
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