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已知an=n∈N*求證：an＜1．

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一、1.C  2.B  3.B  4.C  5.D  6.D    二、7.180°

8.1+

9.(1+  10.(2)（3）  11.兩邊同乘以

三、12.證明：(1)當n=1時，a₁=＜1，不等式成立.

（2）假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即a_k=＜1

亦即1+2²+3³+…+k^k＜(k+1)^k

當n=k+1時

a_k+1=

==()^k＜1.

∴n=k+1時，不等式也成立.

由（1）、（2）知,對一切n∈N*，不等式都成立.

13.證明：（1）當n=1時，一個圓把平面分成兩個區域，而1²－1+2=2，命題成立.

（2）假設n=k(k≥1)時，命題成立，即k個圓把平面分成k²－k+2個區域.

當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，共有k²－k+2+2k=(k+1)²－(k+1)+2個區域.

∴n=k+1時，命題也成立.

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*,命題都成立.

14.解：（1）∵log₂x+log₂(3?2^k－1－x)≥2k－1

∴,解得2^k－1≤x≤2^k, ∴f(k)=2^k－2^k－1+1=2^k－1+1

(2)∵S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+2²+…+2^n－1+n=2ⁿ+n－1

∴S_n－P_n=2ⁿ－n²

n=1時,S₁－P₁=2－1=1＞0;n=2時，S₂－P₂=4－4=0

n=3時，S₃－P₃=8－9=－1＜0;n=4時，S₄－P₄=16－16=0

n=5時，S₅－P₅=32－25=7＞0;n=6時，S₆－P₆=64－36=28＞0

猜想，當n≥5時，S_n－P_n＞0

①當n=5時，由上可知S_n－P_n＞0

②假設n=k(k≥5)時，S_k－P_k＞0

當n=k+1時,S_k+1－P_k+1=2^k+1－(k+1）²=2?2^k－k²－2k－12(2^k－k²)+k²－2k－1

=2(S_k－P_k)+k²－2k－1＞k²－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0

∴當n=k+1時，S_k+1－P_k+1＞0成立

由①、②可知，對n≥5，n∈N*，S_n－P_n＞0成立即S_n＞P_n成立

由上分析可知，當n=1或n≥5時，S_n＞P_n

當n=2或n=4時，S_n=P_n

當n=3時，S_n＜P_n.