河南省示范性高中羅山高中2009屆高三5月綜合測試
數學試題（文）
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 已知集合
和
若A＝B，則
的值為（ ）
A. －1 B.
2. 設數列
是等比數列，
是的前n項和，對任意正整數n，有
，又
，則
等于（ ）
A. 200 B.
3. 已知橢圓
的短軸端點分別為
，左、右焦點分別為F1，F2，長軸右端點為A，若
，則橢圓的離心率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. △ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數列，且
。則
＝（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 函數
的圖象在
處的切線與圓
的位置關系是（ ）
A. 相交但不過圓心 B. 相交且過圓心 C. 相切 D. 相離
6. 在1，2，3，4，5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的有（ ）個
A. 36 B.
7. 設F1、F2為曲線
的焦點，P是曲線
與C1的一個交點，則
的值為（ ）
A. B. C. 
D. －
8. 將
的圖象（ ）
A. 先向左平行移動1個單位 B. 先向右平行移動1個單位
C. 先向上平行移動1個單位 D. 先向下平行移動1個單位
再作關于直線
對稱的圖象，可得函數
的圖象.
9. 對于
，恒有
成立，則
的表達式可以是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
10. 設集合
，
是從集合A到集合B的映射，在映射f下，象的原象有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
11. 已知函數是偶函數，
是奇函數，且
，則
的值是（ ）
A. B. C. 
D. 
12. 正三棱錐
中，M是SC的中點，
，若側棱
，此正三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A. 36
B.
C. 144 D.
256
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷上.
13.對于任意實數x，有
則
＝
.
14. 已知直線
與圓
交于A、B兩點，O為原點，且
，則實數
的值為
.
15. 已知三棱柱ABC―A1B1C1的側棱與底面邊長均為2，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則三棱柱ABC―A1B1C1的體積為 .
y≥0
16. 由線性約束條件 y≤x 所確定的區域面積為S，記
，
y≤2-x
t≤x≤t+1
則
的最大值為
.
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.
17. （本小題滿分10分）已知函數
.
（1）求函數的最小正周期和最小值；
（2）寫出在[0，]上的遞增區間.
18 （本小題滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點。將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D―ABCE.
（1）求證：BE⊥平面ADE；
（2）求BD與平面ADE所成角的正切值.
19. （本小題滿分12分）某生物學習小組對A、B兩種珍稀植物種子的發芽率進行驗證性實驗，每實驗一次均種下一粒A種子和一粒B種子，已知A、B兩種種子在一定條件下每粒發芽的概率分別為，，假設兩種種子是否發芽互不受影響，任何兩粒種子是否發芽相互之間也沒有影響.
（1）求3粒A種子，至少有一粒未發芽的概率；
（2）求A、B各3粒種子，A至少有2粒發芽且B全發芽的概率；
（3）求A、B各2粒種子做發芽實驗時A種種子發芽數比B種種子發芽數多的概率.
20. （本小題滿分12分）函數
的圖像關于原點對稱，且時，有極值－.
（1）求的解析式；
（2）當
時，函數的圖象上是否存在兩點A、B使此兩點處的切線互相垂直？證明你的結論；
（3）當
時，求證：
.
21. （本小題滿分12分）設數列前n項和為，且
（1）求的通項公式；
（2）若數列
滿足
，求的通項公式；
（3）若數列
滿足
且
，求數列的通項公式.
22. （本小題滿分12分）設點
，動圓P經過點F，且和直線
相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過點A（0，－2）作直線與拋物線C交于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交y軸于B點.
1求|OB|的取值范圍；
2若△BMN是直角三角形，求B點的坐標.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
A
A
B
B
D
C
B
B
C
13.
9 14. 
15. 
16. 
17.解：（1）
（4分）
的最小正周期為
（5分）
的最小值為-2
（6分）
（2）的遞增區間為
和
（10分）
18.（1）證明：過D作DH
AE于H,
平面ADE平面ABCE
DH平面ABCE DHBE
在
中，由題設條件可得：AB=2,AE=BE=
AEBE
BE平面ADE
（6分）
（2）由（1）知，BE平面ADE，
為BD和平面ADE所成的角，且BEDE
在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E為CD的中點
DE=1,BE=
在
中，
故BD和平面ADE所成角的正切值為
（12分）
19.（1）記“3粒種子，至少有1粒未發芽”為事件
，
由題意，種3粒種子，相當于作3次獨立重復試驗，
故
（4分）
（2）記“3粒A種子，至少有2粒未發芽”為事件
，“3粒B種子，全部發芽”為事件
，則
（6分）
由于
相互獨立，故
（8分）
（3）
（12分）
20.解：（1）的圖像關于原點對稱，為奇函數
又
（4分）
（2）假設存在兩點
滿足題設條件
而兩切線垂直，則應有
，矛盾，
故不存在滿足題設條件的兩點A,B （8分）
（3）
時，
，在
為減函數
而
時
（12分）
21.解：（1）
兩式相減得：
又
時，
是首項為
，公比為的等比數列
（4分）
（2）
為以-1為公差的等差數列，
（7分）
（3）
以上各式相加得：
當
時，
當時，上式也成立，
（12分）
22.（1）依拋物線定義知，點P的軌跡C，為N，F為焦點，直線
為準線的拋物線
曲線C的方程為
.
（4分）
（2）①設M、N的方程為
帶入并整理得
設MN的中點為
則
MN的垂直平分線方程為
點B的坐標為
故
的范圍是
（8分）
②易得弦長
若
為直角三角形，則為等腰直角三角形，
點B的坐標為（0，10）
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