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1．復數等于(      )

A.8                       B.－8                  C.8i                           D.－8i             

【答案】D

【解析】由,易知D正確.

2．“成立”是“成立”的(      )

A．充分不必要條件                       B.必要不充分條件             

C．充分必要條件                 D.既不充分也不必要條件  

【答案】B

【解析】由得，由得，所以易知選B.

3.已知變量x、y滿足條件則的最大值是(     )

A.2           B.5                C.6                D.8 

【答案】C

【解析】如圖得可行域為一個三角形，其三個頂點

分別為代入驗證知在點

時,最大值是

故選C.

4.設隨機變量服從正態分布,若,則c= (      )

A.1                B.2                    C.3                       D.4 

【答案】B

【解析】

        解得=2, 所以選B.

5.設有直線m、n和平面、,下列四個命題中，正確的是(      )

A.若m∥,n∥,則m∥n

B.若m,n,m∥,n∥,則∥

C.若，m,則m

D.若，m，m,則m∥ 

【答案】D

【解析】由立幾知識,易知D正確.

6.函數在區間上的最大值是(      )

A.1                B.             C.                D.1+

【答案】C

【解析】由,

故選C.

7.設D­、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且

則與(      )

A.反向平行                                              B.同向平行                 

C.互相垂直                                              D.既不平行也不垂直                 

【答案】A

【解析】由定比分點的向量式得:

以上三式相加得

所以選A.

8.若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離

大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是(      )

A.(1,2)           B.(2,+)         C.(1,5)         D. (5,+)    

【答案】B

【解析】或

(舍去),故選B.

9.長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的8個頂點在同一球面上，且AB=2,AD=,AA₁=1,

則頂點A、B間的球面距離是(      )

A.2              B.         C.         D.

【答案】C

【解析】設

則

故選C.

10.設［x］表示不超過x的最大整數（如［2］=2, ［］=1）,對于給定的nN^*,

定義x,則當x時，函數的

值域是(      )

A.                                             B.

C.                              D.

【答案】D 

【解析】當x時，當時， 所以;

當時，當時， 

故函數的值域是.選D.

11..

【答案】 

【解析】

12.已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準線為,離心率e=

過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于           .

【答案】 

【解析】

13.設函數存在反函數,且函數的圖象過點(1,2),

則函數的圖象一定過點      .

【答案】(-1,2)

【解析】由函數的圖象過點(1,2)得: 即函數過點 則其反函數過點所以函數的圖象一定過點

14.已知函數

（1）若a＞0,則的定義域是           ;

(2) 若在區間上是減函數，則實數a的取值范圍是             .

【答案】 ,

【解析】（1）當a＞0時，由得,所以的定義域是;

        (2) 當a＞1時，由題意知;當0<a<1時，為增函數,不合;

           當a<0時，在區間上是減函數.故填.

15.對有n(n≥4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體

和 (m是給定的正整數，且2≤m≤n-2),再從

每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現在樣

本中的概率，則=          ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于           .

【答案】   ,  6

【解析】第二空可分:

①當 時, ;

②當 時, ;

③當時, ;

所以    也可用特殊值法或i和j同時出現6次.

16.（本小題滿分12分）

甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試

合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：

（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率;

（Ⅱ）簽約人數的分布列和數學期望.

解:  用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨立，

且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.

（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3.

              ＝

              ＝

              =

              =

所以， 的分布列是

0

1

2

3

P

的期望

17.（本小題滿分12分）

    如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，

E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

   （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

解: 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF.

過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.

則AG⊥PF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二: 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關

各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），

P（0，0，2）,

（Ⅰ）因為，

平面PAB的一個法向量是，

所以共線.從而BE⊥平面PAB.

又因為平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

   (Ⅱ)易知  

       設是平面PBE的一個法向量，則由得

所以

      設是平面PAD的一個法向量，則由得

所以故可取

      于是，

      故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

18.（本小題滿分12分）

   數列

   (Ⅰ)求并求數列的通項公式；

   (Ⅱ)設證明：當

   解:  (Ⅰ)因為所以

一般地，當時，

＝，即

所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此

當時，

所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此

故數列的通項公式為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

   所以

   要證明當時，成立，只需證明當時，成立.

   證法一

   (1)當n = 6時，成立.

   (2)假設當時不等式成立，即

   則當n=k+1時，

   由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，

   證法二

   令，則

   所以當時，.因此當時，

于是當時，

綜上所述，當時，

19.（本小題滿分13分）

在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;

（II）若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷

它是否會進入警戒水域，并說明理由.

解:  （I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時）.

（II）解法一   如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，

設點B、C的坐標分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,

BC與x軸的交點為D.

由題設有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會進入警戒水域.

解法二:  如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.

過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.

在Rt中，PE=QE?sin

=

所以船會進入警戒水域.

20.（本小題滿分13分）

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與

x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”.已知當x>2時，點P（x,0）

存在無窮多條“相關弦”.給定x₀>2.

（I）證明：點P（x₀,0）的所有“相關弦” 中的中點的橫坐標相同；

(II) 試問：點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請說明理由.

解: （I）設AB為點P（x₀,0）的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,則y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因為x₁x₂,所以y₁+y₂0.

設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m, y_m）,則

k=.從而AB的垂直平分線l的方程為

又點P（x₀,0）在直線上，所以

而于是故點P（x₀,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     （?）

則是方程（?）的兩個實根，且

設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則

因為0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是設t=,則t(0,4x₀-8).

記l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,則2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以當t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)時,

l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,則2(x₀-3)0,g(t)在區間（0，4 x₀-8）上是減函數，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

綜上所述，當x₀>3時，點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值

為2（x₀-1）；當2< x₀3時，點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值.

21.（本小題滿分13分）

已知函數 

(I)  求函數的單調區間;

（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數）.

求a的最大值.

解: （Ⅰ）函數的定義域是，

設則

令則

當時，  在（-1，0）上為增函數，

當x＞0時，在上為減函數.

所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，

函數g(x)在上為減函數.

于是當時，

當x＞0時，

所以，當時，在（-1，0）上為增函數.

當x＞0時，在上為減函數.

故函數的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為.

（Ⅱ）不等式等價于不等式由知，

  設則

由（Ⅰ）知，即

所以于是G(x)在上為減函數.

故函數G（x）在上的最小值為

所以a的最大值為