絕密
數學試卷
時量150分鐘，滿分150分
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互獨立，那么
如果事件A在1次實驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式
，體積公式
， 其中R表示球的半徑
得分
評卷人
復評人
一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）
1．函數
(x>1)的反函數為y=
,則
等于 ……………………（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
試題詳情
2．設集合
，
，則集合
的子集個數最多有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
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3． 從雙曲線虛軸的一個端點看兩個頂點的視角為直角，則雙曲線的離心率為……… （ ）
試題詳情
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4．過P（1，1）作圓
的弦AB，若
，則AB的方程是………（ ）
A y=x+1
B.y=x +2
C.y= -x+2 D.y= -x-2
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5．在
展開式中，
的系數是 ………………………………………… （ ）
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A． 
B． 
C．297
D．207
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6．函數
的單調遞增區間是 ………………………………………… （ ）
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7．若
，則b的取值范圍是 ………………………………………… （ ）
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8．設
，則y=
的最小值為 ………………………………………… （ ）
A．24 B．25 C．26 D．1
試題詳情
9．如圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，現在用四種顏色給這四個直角三角形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法 ……………………………………………………………………………（ ）
A．24種 B．72種 C．84種
D．120種
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10．平面
的一條斜線
與平面交于點P，Q是上一定點，過點Q的動直線
與垂直，那么與平面交點的軌跡是……… （ ）
A．直線 B. 圓 C. 橢圓
D. 拋物線
（第9題圖）
得分
評卷人
復評人
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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）
11．
.
試題詳情
12．不等式
的解集為
．
試題詳情
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15．將一個鋼球置于由6根長度為
m的鋼管焊接成的正四面體的鋼架內，那么，這個鋼球的最大體積為 
.
得分
評卷人
復評人
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三．解答題(本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
試題詳情
已知
的外接圓的半徑為
,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，又向量
，
,且
（I）求角C;
（II）求三角形ABC的面積S的最大值．
得分
評卷人
復評人
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17．（本小題滿分12分）
湖南省某單位從5名男職工和3名女職工中任意選派3人參加省總工會組織的“迎奧運，爭奉獻”演講比賽．
（I）求該單位所派3名選手都是男職工的概率;
（II）求該單位男職工、女職工都有選手參加比賽的概率；
試題詳情
（III）如果參加演講比賽的每一位選手獲獎的概率均為
，則該單位至少有一名選手獲獎的概率是多少？
得分
評卷人
復評人
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18. （本小題滿分12分）
把邊長為2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，設折疊后BC的中點為P.
（I）求異面直線AC，PD所成的角的余弦值;
（II）求二面角C―AB―D的大小;
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（III）在AB上是否存在一點S，使得
？若存在，試確定S的位置，若不存在，試說明理由.
試題詳情
得分
評卷人
復評人
試題詳情
試題詳情
設函數
試題詳情
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（II）若
時，
恒成立，且
，求實數a的取值范圍．
得分
評卷人
復評人
試題詳情
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已知曲線C上的動點M到y軸的距離比到點F（1，0）的距離小1.
（I）求曲線C的方程;
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（II）過F作弦PQ、RS，設PQ、RS的中點分別為A、B，若
，求
最小時，弦PQ、RS所在直線的方程;
試題詳情
（III）是否存在一定點T，使得
？若存在，求出P的坐標，若不存在，試說明理由.
得分
評卷人
復評人
試題詳情
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（I）建立
與
的關系式；
試題詳情
（II）證明：
是等比數列；
試題詳情
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一．
選擇題（每小題5分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
D
B
C
B
C
A
二．
填空題（每小題5分）
11．
12。
13。-1
14。
15。
三．
解答題
……………2分
且2R=
，由正弦定理得：
化簡得： 
……………4分
由余弦定理：
……………11分
所以，
……………12分
17．解：（I）記事件A=“該單位所派的選手都是男職工” ……………1分
則P（A）=
……………3分
（II）記事件B=“該單位男職工、女職工選手參加比賽”
……………4分
則P（B）=
……………7分
（III）設該單位至少有一名選手獲獎的概率為P，則
或
……………12分
18．（解法一）（I）取AB的中點為Q，連接PQ，則
，所以，
為AC與BD所成角……………2分
又CD=BD=1，
，而PQ=1，DQ=1
……………4分
（II）過D作
，連接CR，，
……………6分
在
，
……………8分
……………9分
（解法二）（I）如圖，以D為坐標原點，DB、AD、DC所在直線分別為x,y,z軸建立直角坐標系。則A（
），C（0，0，1），B（1，0，0），P（
），D（0，0，0）
，
……2分
所以，異面直線AC與BD所成角的余弦值為
……………4分
（II）面DAB的一個法向量為
………5分
設面ABC的一個法向量
，則
,取
，……………7分
則
……………8分
…………9分
（III）不存在。若存在S使得AC
，則
，與（I）矛盾。故不存在…12分
19．解：（I）
在區間
上遞減，其導函數
……………1分
……………4分
故
是函數
在區間上遞減的必要而不充分的條件……………5分
（II）
……………6分
當a>0時，函數
在（
）上遞增，在
上遞減，在
上遞增，故有
……………9分
當a〈0時，函數在上遞增，
只要
令
，則
…………11分
所以
在
上遞增，又
不能恒成立。
故所求的a的取值范圍為
……………12分
20．解：（I）由條件，M到F（1，0）的距離等于到直線 x= -1的距離,所以，曲線C是以F為焦點、直線 x= -1為準線的拋物線，其方程為
……………3分
（II）設
，代入得：
……………5分
由韋達定理
，
……………6分
，只要將A點坐標中的
換成
，得
……7分
……………8分
所以，
最小時，弦PQ、RS所在直線的方程為
，
即
或
……………9分
（III）
，即A、T、B三點共線。
是否存在一定點T，使得
,即探求直線AB是否過定點。
由（II）知，直線AB的方程為
………10分
即
，直線AB過定點（3，0）．……………12分
故存在一定點T（3，0），使得……………13分
21．解：（I）因為曲線在
處的切線與
平行
……………4分
，
（III）。由（II）知：
=
，從而
……………11分
，
B．
D．
B． 
B． 
C．
D．
上的動點，
和
分別是橢圓的左、右頂點，則
的
是定義在R上的奇函數，且
，
，則
．
是函數
上遞減的必要而不充分的條件；
，C上的兩點A、
的橫坐標分別為2與
，
，數列
滿足
（
且
，
）．設區間
，當
時，曲線C上存在點
，使得點
處的切線與
平行．
對一切
恒成立時，求t的范圍．