（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應的特征向量分別為．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程為為參數），C₂的參數方程為為參數）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若的定義域為R，求實數m的取值范圍．

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一．             選擇題（每小題5分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

D

C

D

B

C

B

C

A

二．             填空題（每小題5分）

11．       12。     13。-1       14。       15。

三．             解答題

……………2分

且2R=，由正弦定理得：

化簡得：                       ……………4分

由余弦定理：

……………11分

所以，……………12分

17．解：（I）記事件A=“該單位所派的選手都是男職工” ……………1分

則P（A）=         ……………3分

（II）記事件B=“該單位男職工、女職工選手參加比賽” ……………4分

則P（B）=……………7分

（III）設該單位至少有一名選手獲獎的概率為P，則

或……………12分

18．（解法一）（I）取AB的中點為Q，連接PQ，則，所以，為AC與BD所成角……………2分

又CD=BD=1，，而PQ=1，DQ=1

……………4分

（II）過D作，連接CR，，

……………6分

在，

……………8分

……………9分

（解法二）（I）如圖，以D為坐標原點，DB、AD、DC所在直線分別為x,y,z軸建立直角坐標系。則A（），C（0，0，1），B（1，0，0），P（），D（0，0，0）

，……2分

所以，異面直線AC與BD所成角的余弦值為……………4分

（II）面DAB的一個法向量為………5分

設面ABC的一個法向量，則

,取，……………7分

則

……………8分

…………9分

（III）不存在。若存在S使得AC，則，與（I）矛盾。故不存在…12分

19．解：（I）在區間上遞減，其導函數……………1分

……………4分

故是函數在區間上遞減的必要而不充分的條件……………5分

（II）

      ……………6分

當a>0時，函數在（）上遞增，在上遞減，在上遞增，故有

……………9分

當a〈0時，函數在上遞增，只要

令，則…………11分

所以在上遞增，又

不能恒成立。

故所求的a的取值范圍為……………12分

20．解：（I）由條件，M到F（1，0）的距離等于到直線 x= -1的距離,所以，曲線C是以F為焦點、直線 x= -1為準線的拋物線，其方程為……………3分

（II）設，代入得：……………5分

由韋達定理

，

……………6分

，只要將A點坐標中的換成，得……7分

……………8分

所以，最小時，弦PQ、RS所在直線的方程為，

即或……………9分

（III），即A、T、B三點共線。

是否存在一定點T，使得,即探求直線AB是否過定點。

由（II）知，直線AB的方程為………10分

即，直線AB過定點（3，0）．……………12分

故存在一定點T（3，0），使得……………13分

21．解：（I）因為曲線在處的切線與平行

……………4分

   ， 

（III）。由（II）知：=

，從而……………11分

，