安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯考
理科數學
考生注意：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。
2．答題前，請考生務必將答題紙左側密封線內的項目填寫清楚。請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上，在試題卷上作答無效。
參考公式
如果事件
，
互斥，那么 球的體積公式
如果事件，相互獨立，那么 其中
表示球的半徑
棱柱的體積公式
如果事忙在一次試驗中發生的概率
是
，那么
次獨立重復試驗中事件 其中
表示棱柱的底面積，
表示棱柱的高
恰好發生
次的概率 棱錐的體積公式
球的表面積公式 其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高
第Ⅰ卷 （選擇題 共6 0分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若
（
是虛數單位），則
等于
A．
B．
C．
D．
2．從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生的高校招生體檢表中視力情況進行統計，其結果的頻率分布直方圖如右圖：若某高校
專業對視力的要求在0．9以上，則該班學生中能報專業的人數為
A．10 B．
3．已知集合
，則
的充要條件是 A．
B．
C．
D．
4．若
，且
，則
等于
A．56 B．
C．35 D．
5．若
，則實數
等于
A． B．
D．
6．已知奇函數
的定義域為
，當
時，
，則不等式
的解集為
A．
B．
C．
D．
7．某幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中數據，可得該幾何體的體積是
A．
B．
C．
D． 
8．在棱長為的正方體
內任取一點
，則點到點的距離小于等于的概率為 A．
B．
C．
D．
9．若向量
，若
，則
等于
A．
B．
C．
D．
10．極坐標方程
表示的曲線為
A．一條射線和一個圓 B．兩條直線
C．一條直線和一個圓 D．一個圓
11．已知曲線
，點
，直線
過點且與曲線
相切于點
，則點的橫坐標為 A． B．
D．2
12．已知
滿足
點
在圓
，則
的最大值與最小值分別為
A．6，3 B．5，
第Ⅱ卷 （非選擇題 共9 0分）
二、填空題：本大題共4小題。每小題4分，共l6分。把答案填在題中的橫線上。
13．曲線 
的普通方程為
．
14．若數列
的前
項
由如圖所示的流程圖輸出
依次給出，則=
．
15．在計算“
”時，某同學學
到了如下一種方法：先改寫第
項：
，由此得
，
．
相加，得
．
類比上述方法，請你計算“
”，其結果寫成關于的一次因式的積的形式為
．
16．已知雙曲線
的焦距為
，離心率為
，若點
與
到直線
的距離之和
，則的取值范澍是
．
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。
17．（本小題滿分1 2分）
三角形的三內角，
，所對邊的長分別為，
，
，設向量
，若
，
（1）求角的大小；
（2）求
的取值范圍．
18．（本小題滿分1 2分）
甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子，乙也有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子．
（1）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得紅球為止，求甲取球次數
的數學期望；
（2）若甲、乙兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規定同色時為甲勝，異色時為乙勝，這個游戲規則公平嗎？請說明理由．
19．（本小題滿分12分）
乙知四棱臺（如圖）中，底面
是正方形，且
底面，
．
（1）求異面直線
與所成角的余弦值；
（2）試在平面
中確定一個點
，使得
平面
；
（3）求二面角
的余弦值（滿足（2））．
20．（本小題滿分12分）
已知等差數列的前項和為
，公差
，且
成等比數列．
（1）求數列的前項和公式；
（2）設
，數列
的前項和為
，求證：
．
21．（本小題滿分12分）
如圖，橢圓
為橢圓的左、右頂點．
（1）設
為橢圓的左焦點，證明：當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，
取得最小值與最大值；
（2）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標準方程；
（3）若直線
與（2）中所述橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且滿是
，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．
22．（本小題滿分14分）
已知函數
，
（1）當
時，判斷在定義域上的單調性；
（2）若在
上的最小值為
，求的值；
（3）若
在
上恒成立，求的取值范圍．
皖南八校2009屆高三第二次聯考?數學試卷
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．C
l1．A 12．C
13．
14．15
15．
16．
提示：
1．D 
．
2．B 視力住0．9以上的頻率為
，人數為
．
3．C 
，且
若
，則
且
反之，若
，則
4．B 
，由
，得
．
．
5．A 
．
6．B 
當
時，
，由
得
；
當
時，
；
當
時，
，由
．
7．B 該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體，體積為
．
8．D 
．
9．C 
，
，
，
，
．
10．C 
即，或
．
設
．
則
方程為
．
過點
,
,
,
．
12．C
畫出平面區域
，
圓
的圓心
，半徑為l，
的最大值為
的最小值為
．
的最大值為
，最小值為
13．
．
， 
．
14．15 
；
；
．
15．
．
16．
．
又
17．解：（1）
， （2分）
． （4分）
由余弦定理，得
． （6分）
（2）
， （7分）
（9分） 
（10分）
（11分）
（12分）
18．解：（1）
的可能取值為l，2，3，4．
（4分）
∴甲取球次數的數學期望
． （6分）
（2）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色
共有
（種）不同情形，
（8分）
每種情形都是等可能，記甲獲勝為事件A，則
（11分）
所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規則不公平 （12分）
19．解：以
為原點，
、
、
所在的直線為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
（3分）
（1）
，
即直線
與所成角的余角的余弦值為
（6分）
（2）設
由
平面
得
即
得
，即
為的中點． （9分）
（3）由（2）知
為平面的法向量．
設
為平面
的法向量，
由
即
令
得
，
，
即二面角
的余弦值為
（12分）
（非向量解法參照給分）
20．（1）解：
成等比數列，
，即
又
， （3分）
（5分）
（2）證明： 
． （6分）
是首項為2，公差為2的等差數列，
（7分）
（當且僅當
時取“=”）． ① （9分）
當且僅當
即
時取“=”． ② （11分）
又①②中等號不可能同時取到，
（12分）
21．解：（1）設
．
對稱軸方程
．由題意
恒成立， （2分）
在區間
上單凋遞增， （3分）
∴當且僅當橢圓
上的點
在橢圓的左、右頂點時
取得最小值與最大值．（4分）
（安徽高中數學網站注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）
（2）由已知與（1）得：
，
， （5分）
∴橢圓的標準方程為
． （6分）
（3）設
，聯立
得
． （7分）
則
又
，（8分）
∵橢圓的右頂點為
，
（9分）
解得：
，且均滿足
， （10分）
當
時，的方程為
，直線過定點（2，0），與已知矛盾．
當
時，的方程為
，直線過定點（
，0）， （11分）
∴直線過定點，定點坐標為（，0）． （12分）
22，解：（1）由題意：
的定義域為
，且
．
，故在上是單調遞增函數． （2分）
（2）由（1）可知：
① 若
，則
，即
在
上恒成立，此時在上為增函數，
（舍去）． （4分）
② 若
，則
，即
在上恒成立，此時在上為減函數，
（舍去）． （6分）
③ 若
，令
得
，
當
時，
在
上為減函數，
當
時，
在
上為增函數，
（9分）
綜上可知：
． （10分）（3）
．
又
（11分）
令
，
在
上是減函數，
，即
，
在上也是減函數，
．
令得
，∴當
在
恒成立時，．（14分）
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