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如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1焦點(diǎn)在x軸上，左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A，上頂點(diǎn)為B，拋物線C₁、C₂分別以A、B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O．C₁與C₂相交于直線y=

2

x上一點(diǎn)P．
（Ⅰ）求橢圓C及拋物線C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，已知點(diǎn)Q(-

2

，0），求

QM

.

QN

的最小值．

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如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的左右頂點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為以F₁、F₂為直徑的圓上異于F₁、F₂的動(dòng)點(diǎn)，直線PF₁、PF₂分別交橢圓C于M、N和D、E．
（1）證明：

AP

•

BP

為定值K；
（2）當(dāng)K=-2時(shí)，問是否存在點(diǎn)P，使得四邊形DMEN的面積最小，若存在，求出最小值和P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，，左、右焦點(diǎn)分別是，，若，，成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為

A．

B．

C．

D．

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1．D    2．B    3．C    4．B    5．A    6．B    7．B    8．D    9．C    10．C

l1．A   12．C

13．

14．15

15．

16．

提示：

1．D    ．

2．B    視力住0．9以上的頻率為，人數(shù)為．

3．C    ，且

        若，則且

        反之，若，則

4．B    ，由，得．

．

5．A    ．

6．B   

當(dāng)時(shí)，，由得；

當(dāng)時(shí)，；

    當(dāng)時(shí)，，由．

7．B    該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體，體積為

．

8．D    ．

9．C    ，

，

，

，

．

10．C  

即，或．

1l．A   設(shè)．

則方程為．

過點(diǎn)

,

,

,

．

 12．C  畫出平面區(qū)域，

圓的圓心，半徑為l，

的最大值為的最小值為

．的最大值為，最小值為

13．．

    ，    ．

14．15  ；

    ；

    ．

15．

    ．

16．．

    又

17．解：（1），                          （2分）

．                            （4分）

        由余弦定理，得．                                （6分）

（2），                                 （7分）

      （9分）                               （10分）

                                         （11分）

                            （12分）

18．解：（1）的可能取值為l，2，3，4．

                                              （4分）

        ∴甲取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望． （6分）

（2）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色

共有（種）不同情形，                            （8分）

每種情形都是等可能，記甲獲勝為事件A，則

                    （11分）

        所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個(gè)游戲規(guī)則不公平           （12分）

19．解：以為原點(diǎn)，、、所在的直線為

，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

                    （3分）

（1），

即直線與所成角的余角的余弦值為             （6分）

（2）設(shè)

        由平面得

即   得

，即為的中點(diǎn)．                                 （9分）

（3）由（2）知為平面的法向量．

        設(shè)為平面的法向量，

        由即

令得，

，

即二面角的余弦值為                （12分）

（非向量解法參照給分）

20．（1）解：成等比數(shù)列，，即

又，                                         （3分）

                             （5分）

（2）證明： ．                          （6分）

        是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，

                                         （7分）

        （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．                                                 ①              （9分）

     當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”．                     ②            （11分）

        又①②中等號(hào)不可能同時(shí)取到，  （12分）

21．解：（1）設(shè)．

對稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區(qū)間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)取得最小值與最大值．（4分）

（安徽高中數(shù)學(xué)網(wǎng)站注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                 （6分）

（3）設(shè)，聯(lián)立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點(diǎn)為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾．

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)（，0），       （11分）

∴直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．                              （12分）

22，解：（1）由題意：的定義域?yàn)?sub>，且．

，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．          （2分）

（2）由（1）可知：

① 若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上為增函數(shù)，

（舍去）．                       （4分）

② 若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上為減函數(shù)，

（舍去）．                 （6分）

        ③ 若，令得，

        當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，

        當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，

                    （9分）

綜上可知：．                                           （10分）（3）．

        又                                         （11分）

        令，

        在上是減函數(shù)，，即，

        在上也是減函數(shù)，．

        令得，∴當(dāng)在恒成立時(shí)，．（14分）