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湖南省長沙市一中2008-2009學年高三第七次月考

數學（文科）

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．將正確答案的代號填入答卷的表格中)

1．設全集為U，集合，則下列關系一定正確的是（）

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A． _UM B． _U M

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C． D． _U M _U P = U

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2．設，則a＞b的充分不必要條件是（）

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A．a³＞b³ B．＞0 C． a² ＞b² D.

3．函數（）

A．周期為的偶函數 B．周期為的奇函數

C．周期2的奇函數 D．周期為2的偶函數

4．設a，b，c表示三條不同直線，表示兩個不同平面，則下列命題中逆命題不成立的是: （）

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A．，是在內的射影，若，則

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B．，，若，則

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C．，若，則

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D．，若，則

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5．在上，函數與在同一點取得相同的最小值，那么p、q的值分別為（）

A．1,3 B．2,0 C．-2,4 D．-2,0

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6．已知為等差數列，若且它的前n項和有最大值，那么當S_n取得最小正值時，n =（）

A．10 B．11 C．12 D．13

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7．如右圖，在平面直角坐標系xOy中，兩個非零向量、與x軸正

x軸正半軸夾角的取值范圍是（）

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A． B．

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C． D．

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8. 某舞步每一節共六步，其中動作A兩步，動作B兩步，動作C兩步，同一種動作不一定相鄰。則這種舞步一節共有多少種不同的變化（）

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A.種 B. 種 C. 種 D.種

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9. 已知拋物線x² = 2py(p＞0)的焦點為F，P是拋物線上不同于頂點的任一點，過點P作拋物線的切線l交x軸于點Q，則? = （）

A．? 2p B．?p C．0 D．p

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10．設f (x)和g (x) 是定義在同一個區間[a，b]上的兩個函數，若對于任意的x∈[a，b]，都有| f (x) ? g (x)|≤1，則稱f (x)與g (x)在[a，b]上是“密切函數”，[a，b]稱為“密切區間”．設f (x) = x² ? 3x + 4與g(x) = 2x ? 3在區間[a，b]上是“密切函數”，則它的密切區間可以是（）

A．[1，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[2，4]

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二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．)

11．若的展開式只有第6項的系數最大，則n的值為 .

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12．設為坐標原點，，若點滿足，則取得最小值是 .

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13．如右圖所示，各棱長均為3的正三棱柱內接于球O中，則球O的表面積為．

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14．指數函數y = a^x和對數函數y = log_ax(a＞0，a≠1)的圖象分別為C₁、C₂，點M在曲線C₁上，線段OM(O為坐標原點)交曲線C₁于另一點N．若曲線C₂上存在一點P，使點P的橫坐標與點M的縱坐標相等，點P的縱坐標是點N橫坐標的2倍，則點P的坐標為．

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15. 已知動點P（x，y）在橢圓上，若A點坐標為（3，0），且，則的最小值是．

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三、解答題：（本大題共6小題，共75分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.）

16. （本小題滿分12分）已知函數.

（1）求函數的最小正周期；

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（2）將函數f(x)的圖象沿向量平移得到函數g(x)的圖象,求函數g(x)的單調遞減區間。

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17．（本小題滿分12分）已知關于x的不等式的解集分別為A和B，且，求實數a的取值范圍.

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18．（本小題滿分12分）如右圖，邊長為3的正方形ABCD所在平面與平面CDO的交線為CD，線段CD為圓O的弦，A在平面CDO的射影是圓上并異于C、D的點E，且AE = ．

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；

（2）求二面角A-CD-E的大小；

（3）求凸多面體ABCDE的體積．

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19．（本小題滿分13分）已知a、b均為正整數，等差數列{a_n}的首項為a，公差為b；等比數列{b_n}的首項為b，公比為a，且1＜a＜b，b₂＜a₃．在數列{a_n}和數列{b_n}中各存在一項a_m與b_n，使得a_m + 1 = b_n，又．

（1）求a、b的值；

（2）求數列{c_n}中的最小項，并說明理由．

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20．（本小題滿分13分）函數f (x) =，其圖象在點A(1，f (1))、B(m，f (m))處的切線斜率分別為0、1．

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（1）求證：-1＜≤0；（2）若x≥k時，恒有f′(x)＜1，求k的最小值.

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21．（本小題滿分13分）設雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是雙曲線右支上一點，△PF₁F₂的內切圓與x軸切于點Q(1，0)，且|F₁Q| = 4．

（1）求雙曲線的方程；

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（2）設A、B分別為雙曲線的左、右頂點，R是直線x =上異于點的任意一點，若直線AR，BR與雙曲線分別交于點M、N，試判斷點A與以MN為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論．

試題詳情

一、選擇題：B B AD C/ BDBCB

二、填空題：

11、10 12、3 13、21 14、4 15、

三、解答題：

16、【解析】(1)……………………3分

的最小正周期;……………………6分

(2) 將函數f(x)沿向量得到函數g(x)= ……9分

當即時，函數g(x)單調遞減，

故所求區間為.………………………………………12分

17、解：∵∴

①…………5分

又∵

∴②……10分

由①②知，即a的取值集合M=[2，3].……………………12分

18、【解析】（1）證明：由已知AE⊥面CDO，，所以CD⊥AE

又CD⊥AD，AD∩AE =A

故CD⊥平面ADE，

故平面ABCD⊥平面ADE；…………………………………………4分

（2）由（1）知CD⊥AD，CD⊥ED，

故∠ADE為二面角A-CD-E的平面角．…………………………………………6分

在Rt△ADE中，sin∠ADE=,∠ADE=

故平面ABCD與平面CDE所成角的平面角的大小為……………………………………8分

（3）凸多面體ABCDE為四棱錐E?ABCD，V_E_?ABCD = ．………………………………12分

19、【解析】（1）由b₂＜a₃，得ab＜a + 2b．………………………………1分

∵1＜a＜b，∴ab＜3b，則1＜a＜3．………………………………3分

又a為正整數，∴a = 2．………………………………4分

∵a_m + 1 = b_n，∴2 + (m ? 1)b + 1 = b?2ⁿ^{? 1}．

∴b =．………………………………6分

∵b∈N*，2ⁿ^{? 1} ? m + 1 = 1．

故b = 3．………………………………8分

（2）∵a_n = 2 + (n ? 1)?3 = 3n ? 1，b_{2n + 1} = 3?2²ⁿ，………………………………10分

∴c_n ==．

∴當n = 2或n = 3時，c_n取得最小值，最小值為?12．………………………………13分

20、【解析】（1）依題意，f ′(1) = -1 + 2b + c = 0，f ′(m) = -m² + 2bm + c = 1．………………………1分

∵-1＜b＜c，∴-4＜-1+ 2b + c＜4c，∴c＞0．

將c = 1 ? 2b代入-1＜b＜c，得?1＜b＜．………………………………3分

將c = 1? 2b代入-m² + 2bm + c = 1，得 -m² + 2bm ? 2b = 0．

由= 4b² - 8b≥0，得b≤0或b≥2．………………………………5分

綜上所述，-1＜≤0．………………………………6分

（2）由f′(x)＜1，得 -x² + 2bx ? 2b＜0．

∴x² ，………………………………8分

易知為關于的一次函數．………………………………9分

依題意，不等式g()＞0對-1＜≤0恒成立，

∴得x≤或x≥．………………………………12分

∴k≥，即k的最小值為．………………………………13分

21、【解析】（1）設△PF₁F₂的內切圓與PF₁、PF₂的切點分別為D、E，則|PD| = |PE|，|F₁D| =|F₁Q|，

|F₂E| = |F₂Q|．

∵|PF₁| ? |PF₂| = 2a，∴|F₁Q| ? |F₂Q| = 2a，

∴Q(1，0)為雙曲線的右頂點，即a = 1．………………………………3分

又|F₁Q| = a + c = 4，∴c = 3，則b² = c² ? a² = 8．

故雙曲線方程為．………………………………5分

（2）設R(t≠0)、N(x₀，y₀)，由R、B、N三點共線，得，即=，于是解得，則R．………………………………6分

∵，，

∴．………………………………8分

又點N在雙曲線上，∴．

∴．………………………………9分

∵x₀≥1，∴AN?AR＜0，∴∠RAN為鈍角．

又∠RAN與∠MAN互補，∴∠MAN為銳角．………………………………11分

故點A在以MN為直徑的圓的外部．………………………………13分

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